几何证明——中点模型(中级)

★初中几何证明专题★◆中点模型◆1几何证明——中点模型(中级)【知识要点】1、中位线定理：如图，在ABC中，若ADBD，AECE，则//DEBC且12DEBC。EDABC2、中线倍长(倍长中线)：如图（左图），在ABC中，D为BC中点，延长AD到E使ADDE，连接BE，则有：ADC≌EDB。作用：转移线段和角。ABCEDDMCBA注意：①在实际运用中，与某个中点相连的线段，都可以将其看作“中线”，从而都可以考虑将它倍长（需要的话）。②如上右图，如果出现“两条平行线夹中点”的情形，一定会出现“X全等”或“叉叉全等”或“8字型全等”，有时这个“叉叉”需要我们自己画出来（辅助线）.3、直角三角形斜边中线定理：如图，在RtABC中，90ACB，D为AB中点，则有：12CDADBDAB。CBAD4、三线合一：在ABC中:（1）ACBC；（2）CD平分ACB；（3）ADBD，（4）CDAB.“知二得二”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出剩下两条。DABC请牢记：当你发现有某一条线同时具备了“垂线”、“角平分线”、“中线”三种功能当中的任意两种功能时，那么这条线就一定是某个等腰三角形的对称轴，换句话说，以这条线为对称轴必定有等腰三角形出现.★初中几何证明专题★◆中点模型◆2【经典例题】例1、如图所示，已知D为BC中点，点A在DE上，且CEAB，求证：CEDBAD.ADBCE例2、如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且ACBE，延长BE交AC于F，求证：EFAF。FEDBCA例3、如图，在ABC中，AD为A的平分线，M为BC的中点，MEAD//，求证：ACABCFBE21。FEDMBCA★初中几何证明专题★◆中点模型◆3例4、如图,已知ABC中，CEBD,为高线，点M是DE的中点，点N是BC的中点.求证：DEMN。NMDEBCA例5、如图所示，在ABC中，ABAC，M为BC的中点，AD是BAC的平分线，若ADCF且交AD的延长线于F，求证：)(21ABACMF。DMAFCB例6、如图所示，在ABC中，AD是BAC的平分线，M是BC的中点，ADME且交AC的延长线于E，CECD2，求证：BACB2。EMDCAB★初中几何证明专题★◆中点模型◆4【提升训练】1、已知如图，ABC中，AD是BC边上的中线,求证：2ACABAD.DBCA2、已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，ECEF交AB于F连结AEABFC。求证：ECFAEF.FEDABC3、已知如图，ABC中，D是BC边的中点，E是AD边的中点，连结BE并延长交AC于点F.求证：AFFC2。FEDBCA★初中几何证明专题★◆中点模型◆54、在梯形ABCD中，BCAD//，BCADAB，E为CD的中点，求证：BEAE。CEBAD5、已知：在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O，AF为BAC的平分线，交BD于E，BC于F．求证：FCOE21．EFOABCD6、如图，ABC中，B的平分线BE与BC边的中线AD垂直，垂足为F，且4ADBE，求ABC的三边长。FBACDE★初中几何证明专题★◆中点模型◆67、如图，在ABC中，5ACAB，6BC，点M为BC中点，ACMN于点N，求MN的长。NMABC8、如图，已知ABC中，AD是BAC的平分线，AD又是BC边上的中线，求证ACAB。DBCA9、如图，已知ABC中，BCACAB,3,5上的中线2AD,求BC的长.DBCA★初中几何证明专题★◆中点模型◆710、如图，在ABC中，D是AB的中点，CDAC，31tanBCD，求A的正切值.DABC11、已知：如图，ABC中，BCAB，在AB上取点D，在AC延长线上取点E，连结DE交BC于点F，若F是DE中点，求证：CEBD．FDBCAE12、如图，M是ABC的边BC的中点，AN平分BAC，ANBN于点N，且10AB，15BC，3MN，求ABC的周长。MNBCA★初中几何证明专题★◆中点模型◆813、如图，已知：ABC中,DA,90是BC的中点，DFDE。求证：222EFCFBE。FDBCAE14、如图,已知ABC中，D是BC的中点，DFDE。求证：EFCFBE。FDBCAE15、如图，D是ABC中BC边上的一点，且ABCD，BADBDA，AE是ABD的中线，求证：AEAC2。EDBCA★初中几何证明专题★◆中点模型◆916、如图，已知等腰三角形ABC中，BDACABA,,90平分BDCEABC,，垂足为点E，求证：CEBD2。DEABC17、已知：如图，ADCDACABCADBAD,,于点HD,是BC中点，求证：ACABDH21。HDCAB18、如图，在正方形ABCD中，F是AB中点，连接CF，作CFDE交BC于点E，交CF于点M，求证：ADAM。MEFDABC★初中几何证明专题★◆中点模型◆1019、已知：ABD和ACE都是直角三角形，点C在AB上，且90ACEABD，如图，连接DE，设M为DE的中点，连接MCMB,。求证：MCMB。MABDCE20、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，ADBD2，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点。求证：（1）ACBE（2）EFEG.GFEADBCO21、请阅读下列材料：问题：如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点EBA,,在同一条直线上，P线段DF的中点，连结PCPG,．若60BEFABC,探究PG与PC的位置关系．PFGDCABE★初中几何证明专题★◆中点模型◆1122、如图，ABC中，D是边BC的中点，ACBE于点E，若30DAC,求证：BEAD。ADBCE23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB中点，CDEF于F，4,6EFCD，求ABCDS梯形。BCDAEF24、如图，三角形ABC，D为BC上的点，过B作AEBE，交AD延长线于E，作ADCF交AD于F，G为BC中点，连接FG与GE，求证：GEFGDACBEFG★初中几何证明专题★◆中点模型◆1225如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分DAE，求证：AEECCDFEDCBA26、如图，正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），M是线段AE的中点，DM的延长线交CE于N．（1）求证：AD=NE（2）求证：①DM=MF；②DM⊥MF．27、如图，等腰梯形ABCD中，ABCD//，对角线ABCD相交于O，60ACD，点S，P，Q分别是OD，OA，BC的中点，求证：PQS是等边三角形.28、已知如图，ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是OB、OC的中点，（1）判断EF和DG有何关系并证明；（2）求证：ABCOGDSS△△121。GFODEABC★初中几何证明专题★◆中点模型◆1329、如图，在梯形ABCD中，BCAD//，DCADAB，60C，BDAE于点E，F是CD的中点，DG是梯形的高。（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）设AEx，四边形DEFG的面积为y，求y关于x的函数关系式。ABCDGEF30、已知如图，在四边形ABCD中，EF分别为AB、CD的中点；（1）求证：)(21BDACEF；（2）EF交BD、AC分别于P、Q，若BDAC，求证：OPQ为等腰三角形。OQPEFABCD31、点O是ABC所在平面内一动点，连结OB、OC，并把AB、OB、OC、CA的中点D、E、F、G顺次连结起来，设DEFG能构成四边形。（1）如图，当点O在ABC内时，求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）当O点移动到ABC外时，（1）的结论是否成立？画出图形，说明理由；（3）若四边形DEFG是矩形，则O点所在的位置满足什么条件？试说明理由。GDFEABCO