基于ABAQUS的悬臂梁的弹塑性弯曲分析

..基于ABAQUS的悬臂梁的弹塑性弯曲分析学院：航空宇航学院专业：工程力学指导教师：姓名：学号：..1.问题描述考虑端点受集中力F作用的矩形截面的悬臂梁，如图1所示，长度l=10m，高度h=1m，宽度b=1m。材料为理想弹塑性钢材（如图2），并遵守Mises屈服准则，屈服强度为MPaY380，弹性模量GPaE200，泊松比3.0。图1受集中力作用的悬臂梁图2钢材的应力-应变行为首先通过理论分析理想弹塑性材料悬臂梁的弹塑性弯曲，得到悬臂梁的弹塑性弯曲变形的规律和塑性区形状，确定弹性极限载荷eF和塑性极限载荷YF；其次利用ABAQUS模拟了该悬臂梁受集中载荷作用的变形过程，得出弹性极限载荷eF、塑性极限载荷YF、塑性区形状和载荷-位移曲线，与理论分析的结果进行对比，验证有限元分析的准确性。2.理论分析2.1梁的弹塑性纯弯曲对于矩形截面Euler-Bernoulli梁，受弯矩M作用，如图3所示，根据平截面假定，有图3矩形截面梁受弯矩M的作用y（1）..其中为弯曲后梁轴的曲率，规定梁的挠度w以与y同向为正，则在小变形情况有22-dxwd（2）当弯矩M由零逐渐增大时，起初整个截面都处于弹性状态，这是Hooke定律给出yEEy（3）再由平衡方程，可得到EIM（4）其中，3121bhI是截面的惯性矩。将EIM/带入（3）式，可知Iy/M显然，最外层纤维的应力值最大。当M增大时，最外层纤维首先达到屈服，即YhybhM22/61/（5）这时的弯矩是整个截面处于弹性状态所能承受的最大弯矩，即为弹性极限弯矩，它等于261bhMYe（6）对应的曲率可由式（4）求得EhEIMYee/2/（7）当eMM时，梁的外层纤维的应变继续增大，但应力值保持为Y不再增加，塑性区将逐渐向内扩大。弹塑性的交界面距中性面为)10(2hye。在弹性区：eyy0，Yeyy；在塑性区：2hyye，Y在弹塑性区的交界处，Y，因而YhE)2(，由此可求出此时的曲率和弯矩分别为../12eYEh（8）232eMM（9）从这两个式子消去，可得eMM时的弯矩-曲率关系为2321eeMM（10）或eeMM231（12）当M继续增加使得0时，截面全部进入塑性状态。这时eMM23，而。当梁的曲率无限增大时，弯矩趋向一极限值，此极限值即为塑性极限弯矩。可得矩形截面梁的塑性极限弯矩为241bhMYp（13）采用以下量纲为一的量：eMMm/，e/（14）矩形截面梁的弯矩-曲率关系可以写成5.11,23/11,mmmm（15）2.2梁在横向载荷作用下的弹塑性弯曲考虑端点受集中力F作用的矩形截面悬臂梁，若hl（本例中10hl满足此要求），则梁中的剪应力可以忽略，平截面假定近似成立，于是就可以利用弹塑性纯弯曲的分析结果来研究横向载荷作用下的弹塑性弯曲问题。本例中，显然根部弯矩最大，因而根部截面的最外层纤维（图1中的A点与B点）应力的绝对值最大。当F增加时，A、B点将进入塑性，这时的载荷是梁的弹性极限载荷lbhlMFYee6//2（16）..当eFF时，弯矩仍沿梁轴方向呈线性分布。设在_xx处有eMxlF)(_，则)/(_FMlxe。在_xx范围内的各截面，都有部分区域进入塑性，且由式（9）可知各截面上弹塑性区域的交界线决定于2121])(23[)23(lFxlFMMee（17）其中已用到xlFM。式（17）证明，弹塑性区域的交界线是两段抛物线。当lbhFFFYeY4/232时，梁的根部（x=0）处的弯矩达到塑性极限弯矩，即epYMMlFM23,这时梁内塑性区如图4中的阴影部分所示，且塑性区域分界线连接成一条抛物线，梁的根部形成塑性铰。这时，由于根部的曲率可以任意增长，悬臂梁丧失了进一步承载的能力。因此，lMFpY/即为悬臂梁的极限载荷，悬臂梁不能承受超过YF的载荷。图4受集中力作用的悬臂梁在小挠度情形下，利用''y的关系可以求得梁的挠度。具体来说，在悬臂梁受端部集中载荷的问题中，以xlFM带入式（15）可得..pppmppmyee110,323/1231111),1(''（18）其中，eMMm/，eFFf/，lx/，22''dxydy，利用边界条件0)0()0('yy和在p1-1处的关于y和'y的连续性条件，可对式（18）积分两次，得到梁端挠度)(ly的表达式2/]23)3(5[fpfe（19）其中e是f=1（即eFF）时的，可按材料力学方法求出为3/2ele（20）当23f（即eYFFF23）时，式（19）给出相应的梁端挠度为ep920（21）代入题目所给数据可得到NlbhFYe621033.66NFFeY61050.923mmEhlEIlMYe7.1232322emmep2.289203.有限元分析3.1有限元模型此问题属于平面应力问题，采用二维有限元模型，选取平面图形作为分析模型，其长度l=10m，高度h=1m。3.2材料属性定义..圆筒材料为钢材，弹性模量200Gpa，屈服强度380Mpa，泊松比0.3，截面属性选用实体、匀质，采用理想弹塑性本构关系。3.3分析步的定义由于是非线性分析，Step中设置分析过程和输出要求选择静态分析，最小分析步取0.05，最大分析步取0.1，输出要求采用默认输出。3.4载荷施加和边界条件布置载荷边界条件和位移边界条件，将模型左端固支，右上端顶点施加集中力载荷。3.5网格划分按照四节点四边形平面应力单元CPS4I（如图5）划分网格，定义不同大小位移载荷进行分析计算，分析采用Mises准则。图5悬臂梁的有限元网格3.6结果及分析3.6.1弹性极限载荷和塑性载荷压力的确定当取NF61076.6时，等效塑性应变分布如图6所示，结构的等效塑性应变均为0，可以看出系统处于弹性状态并未产生塑性应变，此时悬臂梁处于弹性阶段。..图6NF61076.6等效塑性应变云图当取NF61077.6时，等效塑性应变分布如图7所示，最大等效塑性应变均为3.811e-6，最小等效塑性应变为0，可以看出系统部分处于弹性状态，部分处于塑性阶段，此时结构处于弹塑性阶段。图7NF61077.6等效塑性应变云图当取NF61084.9时，应力分布如图8所示，可以看出根部还没有形成塑性铰，即根部还没有完全进入塑性，也就是说系统部分处于弹性状态，部分处于塑性阶段，此时结构仍处于弹塑性阶段。..图8NF61084.9应力云图当取NF61085.9时，应力分布如图9所示，可以看出根部形成塑性铰，悬臂梁不能再承受超过NF61085.9的载荷。图9NF61085.9应力云图综上分析可知，有限元模拟所得的弹性极限载荷在N661077.6~1076.6之间，塑性极限载荷在N661085.9~1084.9之间。与理论解相比，有限元所得弹性极限载荷的误差大约为%9.633.633.6-.776，有限元所得塑性极限压力的误差大约为%6.350.950.9-.859，与理论解相比，误差较小。不仅如此，图9表明，弹塑性区域的交界线是两段抛物线，与塑性力学解式（17）相同。3.6.2悬臂梁弹塑性弯曲过程分析对于这种悬臂梁在端部受集中力的问题，在ABAQUS中施加位移载荷模拟，取位移mm30，可以得到载荷作用点的载荷-位移曲线，如图10所示，..图10有限元所得的载荷-位移曲线将有限元所得的载荷-位移曲线与式（19）相比可知，有限元中悬臂梁的变形与理论分析结果基本一致，刚开始都是弹性阶段，随着载荷增大，进入弹塑性阶段，直到载荷增大到塑性极限载荷，根部形成塑性铰，悬臂梁丧失进一步承载的能力。由上图也可看出，eF大约为N61077.6，YF大约为N61085.9，同时可以得到e大约为13.6mm，p大约为30.0mm，与理论解相比，弹性极限位移误差大约为%1.77.127.126.13，塑性极限位移误差大约为%4.62.282.28-0.30，位移误差相对于载荷误差较大。原因可能有：一是随着位移增加，可能会进入弹塑性大挠度情形；二是模型所采用的单元不独有弯曲应力，即不满足平截面假设。4.总结首先，本文通过理论分析理想弹塑性材料悬臂梁受集中力作用的弹塑性弯曲，得到悬臂梁的弹塑性弯曲变形的一般规律和塑性区形状，确定了弹性极限载荷eF和塑性极限载荷YF；其次，利用ABAQUS模拟了该悬臂梁受集中载荷作用的变形过程，得出弹性极限载荷eF、塑性极限载荷YF、塑性区形状和载荷-位移曲线，与理论分析的结果进行对比，结果相差不大，验证了有限元分析悬臂梁弹塑性弯曲的准确性。单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。