《平面向量数量积的运算律》教案正式版

《平面向量数量积的运算律》教案教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质.教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab=|a||b|cos，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．“投影”的概念：作图定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为|b|；当=180时投影为|b|.4．向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1ea=ae=|a|cos；2abab=0C3当a与b同向时，ab=|a||b|；当a与b反向时，ab=|a||b|.特别的aa=|a|2或aaa||4cos=||||baba；5|ab|≤|a||b|二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1．交换律：ab=ba证：设a，b夹角为，则ab=|a||b|cos，ba=|b||a|cos∴ab=ba2．数乘结合律：(a)b=(ab)=a(b)证：若0，(a)b=|a||b|cos，(ab)=|a||b|cos，a(b)=|a||b|cos，若0，(a)b=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos，(ab)=|a||b|cos，a(b)=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos.3．分配律：(a+b)c=ac+bc在平面内取一点O，作OA=a，AB=b，OC=c，∵a+b（即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即|a+b|cos=|a|cos1+|b|cos2∴|c||a+b|cos=|c||a|cos1+|c||b|cos2，∴c(a+b)=ca+cb即：(a+b)c=ac+bc说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２三、讲解范例：例1已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角.解：由(a+3b)(7a5b)=07a2+16ab15b2=0①(a4b)(7a2b)=07a230ab+8b2=0②两式相减：2ab=b2代入①或②得：a2=b2设a、b的夹角为，则cos=21222||||||bbbaba∴=60例2求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.解：如图：平行四边形ABCD中，DCAB，BCAD，AC=ADAB∴|AC|2=ADABADABADAB2||222而BD=ADAB，∴|BD|2=ADABADABADAB2||222∴|AC|2+|BD|2=2222ADAB=2222||||||||ADDCBCAB例3四边形ABCD中，AB＝ａ，BC＝ｂ，CD＝с，DA＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.解：四边形ABCD是矩形，这是因为：一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD两组对边分别相等.∴四边形ABCD是平行四边形另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０，即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC.综上所述，四边形ABCD是矩形.评述：(1)在四边形中，AB，BC，CD，DA是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.四、课堂练习：1.下列叙述不正确的是（）A.向量的数量积满足交换律B.向量的数量积满足分配律C.向量的数量积满足结合律D.a·b是一个实数2.已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为６０°，则(a+2b)·(a-3b)等于（）A.72B.-72C.36D.-363.|a|=3，|b|=4，向量a+43b与a-43b的位置关系为（）A.平行B.垂直C.夹角为3D.不平行也不垂直4.已知|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角为150°，则(a+b)２＝.5.已知|a|=2，|b|=5，a·b=-3，则|a+b|=______，|a-b|=.6.设|a|=3，|b|=5，且a+λb与a－λb垂直，则λ＝.五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：（王海）学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练。有个故事：古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说：“今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿。每人把胳膊尽量往前甩，然后再尽量往后甩。”说着，苏格拉底示范做了一遍，“从今天开始，每天做300下，大家能做到吗？”学生们都笑了，这么简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉底问学生：每天甩手300下，哪个同学坚持了，有90％的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问，这回，坚持下来的学生只剩下了80％。一年过后，苏格拉底再一次问大家：“请告诉我，最简单的甩手运动。还有哪几个同学坚持了？”这时，整个教室里，只有一个人举起了手，这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。同学们，柏拉图之所以能成为大哲学家，其中一个重要原因，就是，柏拉图有一种持之以恒的优秀品质。要想成就一番事业，必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感动天帝，移走太行、王屋二山。正是因为他具有锲而不舍的精神。戎马一生，他前十次革命均告失败，但他百折不挠，终于在第十一次革命的时候，推翻了清王朝的统治，建立了中华民国。这些故事，情节不同，但意义都是一样的，它告诉无们，做事要有恒心。旬子讲：“锲而不舍，朽木不折；锲而舍之，金石可镂。”这句话充分说明了一个人如果有恒心，一些困难的事情便可以做到，没有恒心，再简单的事也做不成。学习是一条慢长而艰苦的道路，不能靠一时激情，也不是熬几天几夜就能学好的，必须养成平时努力学习的习惯。所以我说：学习贵在坚持！当下市面上关于教授学习方法的书籍不少，其所载内容也的确很有道理，然而当读者实际应用时，很多看似实用的方法用来效果却并不明显，之后的结果无非是两种：要么认为自己没有掌握其精髓要领，要么抱怨那本书的华而不实，但最终肯定还是会回归到当初的原点。这本《学会学习》在一开始并没有急于兜售自己的方法，而是通过测试让读者真正了解自己，从而找到适合自己思维方式的学习方法，书的第一部分就是左脑还是右脑思维测试和视觉、听觉和动觉学习模式测试，经过有效分类后，针对不同读者对不同思考和接收接受学习的特点，有针对性的分别给出建议，从而不断强化自己的优势。在其后书中的所有介绍具体学习方法章节的最开始，都是按照不同学习模式给出各种学习方法不同的建议，这是此书区别于其他学习方法类书籍的最大特点，这种“因材施教”的方式能让读者有种豁然开朗的感觉，除了能够得到最适合自己的有效的学习方法也能更深入的认识客观的自己，不论对学习还是生活都有帮助。除了“针对性”强外，本书第二大特点就是“全面”，全书都是由一篇篇短文、图表集成，更像是一本博文或者PPT课件合集，每个学习方法的题目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章节内容安排的比较混乱，所幸每一章节关联性并不太强，每个章节都适合独立检索来阅读学习。其内容从“时间规划”、“笔记”“阅读”直到“考试”几乎涉及了所有学习中的常遇问题，文中文字精炼没有过分的渲染，完全是纯纯的“干货”，可以设身处地的想象：当自己面对学海之中手足无措之时，长篇大论的方法肯定会无心查看，明了的编排，让人从目录中就能一目了然的找到自己想要的，一篇篇短文尽可能在最少的时间让读者得到最有用的信息，是一部值得学习的人们不断自我提高的有力武器。曾经看到一个有意思的心理测试:用“正确的方法”、“错误的方法”和“积极的行为”、“消极的行为”，来自由搭配，看如何搭配出最好和最坏的结果，“正确方法”配合“积极的行为”无疑是最好的结果，然而我们会很“惯性”想当然的认为，“错误的方法”和“消极的行为”搭配是最坏的结果，其实“错误的方法”加上“积极的行为”才是最坏的结果，这会让人在错误的路上越走越远，学习也是同理，一味钻牛角尖般的生搬硬套不适合自己的方法不论多努力都只会离成功越来越远，而好的学习方法加上积极的学习态度无疑会让你如虎添翼。这是每个人都需要的，起码在学生的时候如果遇到，或者人生会少一些遗憾，我只恨我遇见的晚了点，可是现在已是终身学习的年代，错过了最恰当的时候，但只要有心又怎会嫌晚呢？本书归类为学习方法-青年读物，是本工具书，学习手册，但不能阻止她成为经典。这本书的副标题为“增加学习技能与脑力”，正是本书的宗旨，本书系统化地阐述了学习技能提升的各个方面，可谓事无巨细的令人发指啊。整体来讲主要包括7个方面，分别是学习模式，时间管理和学习技巧规划，笔记记录技巧，阅读技巧，记忆，应试技巧，拾遗。全书的结构采取的是总分的形式，前三个方面是总的部分，算是增加学习技能的准备，从认识自己的学习模式开始，然后采取任何事都需要的时间管理技巧，再总体地讲一下学习技巧规划的事项。然后底下是分的部分，将学习的包含的各个方面的技巧进行分开阐述，分别有笔记记录，阅读，记忆，应试以及最后的拾遗。系统地讲述了学习的几乎所有方面。让读到她的人如果实践的话不仅能在学习上得到提高，在脑力上或者说理解力上肯定会受益匪浅。在此，说句题外话，我一直觉得日本人写书在细节上做的是无与伦比的，但是这本书让我对这个看法有了一定的动摇，因为她里面的讲述部分让我觉得美国是个应试教育的国家吗，简直比我们中国还要应试。那个考试应对细节的部分放在中国，一点也没有违和感的，好吗？所以他们能出现这样的情况，从没到过日本的人能够写出描写日本人的书，然后让日本人都觉得是经典的，没有在企业里做过实务管理的德鲁克能成为管理上的大师，其理念影响了全世界……不得不说，美国的教育真不是盖的。细节上，我印象比较深的是，作者开篇开始传授如何应该认识自己的学习模式，运用了一些测试题目，然后根据结果找出与自己最近似的学习模式，她把学习模式分为几种情况，分别有左脑型，右脑型，还有另外的分法，为视觉的，听觉的，动作的。我看了一下，确实有跟自己近的类型，我就是视觉的，对号入座后就可以比较直接的去扬长避短了。然后，作者说了，做任何事情，时间管理技巧都是不可缺少的，她不仅教导的是学习的技能，还有很多其他的道理，对我们人生都是有益的，我相信