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专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.已知关于x的方程mx2-（2m-1）x+m-2=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若x1、x2为方程的两个不等实数根，且满足x12+x22-x1x2=2，求m的值．例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1=x2+1，求m的值．例3．已知关于x的方程mx2+（4-3m）x+2m-8=0（m＞0）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个根分别为x1、x2（x1＜x2），若n=x2-x1-12m，且点B（m，n）在x轴上，求m的值．.例4.已知关于x的一元二次方程：x2-2（m+1）x+m2+5=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2，求m的值．例5.已知关于x的方程x2-（2k+1）x+4（k-12）=0．（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由．（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．训练1.已知关于x的方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）已知方程有两个不相等的实数根α，β，满足1𝛼+1𝛽=1，求m的值．2.已知一元二次方程x2-2x+m=0（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1和x2，且x1+3x2=3，求m的值．（3）若方程的两个实数根为x1和x2，且x12-x22=0，求m的值．3.已知关于x的方程x2+（m-3）x-m（2m-3）=0（1）证明：无论m为何值方程都有两个实数根；（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m的值；若不存在，请说明理由．4.已知关于x的一元二次方程x2-6x-k2=0（k为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2为方程的两个实数根，且2x1+x2=14，试求出方程的两个实数根和k的值．5.已知关于x的方程x2-（2k-3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1、x2满足|x1|+|x2|=2|x1x2|-3，求k的值．6.已知关于x的一元二次方程x2-（m-2）x+12m-3=0（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1+x2=m+1，求m的值．7.已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-5x+4a-2=0的一个根为x=3．（1）求a的值及方程的另一个根；（2）如果一个等腰三角形（底和腰不相等）的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．8.设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的两实根，当a为何值时，x12+x22有最小值？最小值是多少？专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△=b2-4ac=[-（2m-1）]2-4m（m-2）=4m+1＞0，解得：m＞-14，∵二次项系数≠0，∴m≠0，∴当m＞-14且m≠0时，方程有两个不相等的实数根；（2）∵x1、x2为方程的两个不等实数根，∴x1+x2=2𝑚−1𝑚，x1x2=𝑚−2𝑚，∴x12+x22-x1x2=（x1+x2）2-3x1x2=（2𝑚−1𝑚）2-3(𝑚−2)𝑚=2，解得：m1=√2+1，m2=-√2+1（舍去）；∴m=√2+1．例2.解：（1）∵△=（-4m）2-4（4m2-9）=36＞0，∴此方程有两个不相等的实数根；（2）∵x=4𝑚±√362=2m±3，∴x1=2m-3，x2=2m+3，∵2x1=x2+1，∴2（2m-3）=2m+3+1，∴m=5．例3.解：（1）∵△=（4-3m）2-4m（2m-8），=m2+8m+16=（m+4）2又∵m＞0∴（m+4）2＞0即△＞0∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程的两个根分别为x1、x2（x1＜x2），∴x1+x2=-4−3𝑚𝑚，x1•x2=2𝑚−8𝑚，n=x2-x1-12m，且点B（m，n）在x轴上，∴x2-x1-12m=√(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥2𝑥1-12m=√(4−3𝑚𝑚)2−4×2𝑚−8𝑚-12m=0，解得：m=-2，m=4，∵m＞0，∴m=4．例4..解：（1）∵方程x2-2（m+1）x+m2+5=0有两个不相等的实数根，∴△=[-2（m+1）]2-4（m2+5）=8m-16＞0，解得：m＞2．（2）∵原方程的两个实数根为x1、x2，∴x1+x2=2（m+1），x1•x2=m2+5．∵m＞2，∴x1+x2=2（m+1）＞0，x1•x2=m2+5＞0，∴x1＞0、x2＞0．∵x12+x22=(𝑥1+𝑥2)2-2x1•x2=|x1|+|x2|+2x1•x2，∴4（m+1）2-2（m2+5）=2（m+1）+2（m2+5），即6m-18=0，解得：m=3．例5.证明：（1）∵△=（2k+1）2-16（k-12）=（2k-3）2≥0，∴方程总有实根；解：（2）∵两实数根互为相反数，∴x1+x2=2k+1=0，解得k=-0.5；（3）①当b=c时，则△=0，即（2k-3）2=0，∴k=32，方程可化为x2-4x+4=0，∴x1=x2=2，而b=c=2，∴b+c=4=a不适合题意舍去；②当b=a=4，则42-4（2k+1）+4（k-12）=0，∴k=52，方程化为x2-6x+8=0，解得x1=4，x2=2，∴c=2，C△ABC=10，当c=a=4时，同理得b=2，∴C△ABC=10，综上所述，△ABC的周长为10．训练1.（1）证明：∵方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）是一元二次方程，∴△=（m+2）2-8m=m2+4m+4-8m=m2-4m+4=（m-2）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵方程有两个不相等的实数根α，β，∴由根与系数的关系可得α+β=𝑚+2𝑚，αβ=2𝑚，∵1𝛼+1𝛽=1，∴𝑚+2𝑚2𝑚=𝑚+22=1，解得m=0，∵m≠0，∴m无解．2.解：（1）∵方程x2-2x+m=0有两个实数根，∴△=（-2）2-4m≥0，解得m≤1；（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1•x2=m，解方程组{𝑥1+𝑥2=2𝑥1+3𝑥2=3，解得{𝑥1=32𝑥2=12，∴m=x1•x2=32×12=34；（3）∵x12-x22=0，∴（x1+x2）（x1-x2）=0，∵x1+x2=2≠0，∴x1-x2=0，∴方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，∴△=（-2）2-4m=0，解得m=1．3.（1）证明：∵关于x的方程x2+（m-3）x-m（2m-3）=0的判别式△=（m-3）2+4m（2m-3）=9（m-1）2≥0，∴无论m为何值方程都有两个实数根；（2）解：设方程的两个实数根为x1、x2，则x1+x2=-（m-3），x1×x2=-m（2m-3），令x12+x22=26，得：（x1+x2）2-2x1x2=（m-3）2+2m（2m-3）=26，整理，得5m2-12m-17=0，解这个方程得，m=175或m=-1，所以存在正数m=175，使得方程的两个实数根的平方和等于26．4.（1）证明：在方程x2-6x-k2=0中，△=（-6）2-4×1×（-k2）=4k2+36≥36，∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵x1、x2为方程的两个实数根，∴x1+x2=6①，x1•x2=-k2，∵2x1+x2=14②，联立①②成方程组{𝑥1+𝑥2=62𝑥1+𝑥2=14，解之得：{𝑥1=8𝑥2=−2，∴x1•x2=-k2=-16，∴k=±4．5.解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=[-（2k-3）]2-4（k2+1）=4k2-12k+9-4k2-4=-12k+5＞0，解得：k＜512；（2）∵k＜512，∴x1+x2=2k-3＜0，又∵x1•x2=k2+1＞0，∴x1＜0，x2＜0，∴|x1|+|x2|=-x1-x2=-（x1+x2）=-2k+3，∵|x1|+|x2|=2|x1x2|-3，∴-2k+3=2k2+2-3，即k2+k-2=0，∴k1=1，k2=-2，又∵k＜512，∴k=-2．6.解：（1）∵△=（m-2）2-4×（12m-3）=（m-3）2+3＞0，∴无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）解：x1+x2=m-2，2x1+x2=x1+（x1+x2）=m+1，∴x1=m+1+2-m=3，把x1代入方程有：9-3（m-2）+12m-3=0解得m=245．7.解：（1）将x=3代入方程中，得：9（a-1）-15+4a-2=0，解得：a=2，∴原方程为x2-5x+6=（x-2）（x-3）=0，解得：x1=2，x2=3．∴a的值为2，方程的另一个根为x=2．（2）结合（1）可知等腰三角形的腰可以为2或3，∴C=2+2+3=7或C=3+3+2=8．∴三角形的周长为8或7．8..解：∵△=（2a）2-4（a2+4a-2）≥0，∴𝑎≤12又∵x1+x2=-2a，x1x2=a2+4a-2．∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=2（a-2）2-4．设y=2（a-2）2-4，根据二次函数的性质．∵𝑎≤12∴当𝑎=12时，x12+x22的值最小．此时𝑥12+𝑥22=2(12−2)2−4=12，即最小值为12．