正比例函数图像和性质

源于名校，成就所托创新三维学习法让您全面发展~1~正比例函数的图像和性质知识精要1.正比例函数的图像一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k0）的图像是经过原点O(0,0)和点M（1，k）的一条直线。我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx。2.正比例函数性质精讲名题例1.若函数y=(m-1)3mx是正比例函数，则m=,函数的图像经过象限。解:m=4,图像经过第一、三象限。例2.已知y-1与2x成正比例，当x=-1时，y=5,求y与x的函数解析式。解：∵y-1与2x成正比例∴设y-1=k·2x（k0）把x=-1,y=5代入，得k=-2,∴y-1=-2·2x∴y=-4x+1源于名校，成就所托创新三维学习法让您全面发展~2~例3.已知y与x的正比例函数，且当x=6时y=-2(1)求出这个函数的解析式；(2)在直角坐标平面内画出这个函数的图像；(3)如果点P（a，4）在这个函数的图像上，求a的值；(4)试问，点A（-6，2）关于原点对称的点B是否也在这个图像上？解：(1)设y=k·x（k0）当x=6时，y=-2∴-2=6k∴31k∴这个函数的解析式为xy31(2)xy31的定义域是一切实数，图像如图所示：(3)如果点P（a，4）在这个函数的图像上，∴a314，∴a=-12(4)点A（-6，2）关于原点对称的点B的坐标（6，-2），当x=6时，y=2631因此，点B也在直线xy31上例4.已知点(11,yx)，(22,yx)在正比例函数y=(k-2)x的图像上，当21xx时，21yy，那么k的取值范围是多少？解：由题意，得函数y随x的值增大而减小，∴k-20,∴k2例5.（1）已知y=ax是经过第二、四象限的直线，且3a在实数范围内有意义，求a的取值范围。（2）已知函数y=(2m+1)x的值随自变量x的值增大而增大，且函数y=(3m+1)x的值随自变量x的增大而减小，求m的取值范围。解：（1）根据题意得a0,a+3≥0∴-3≤a0(2)根据题意得2m+10,3m+10解得-1/2x-1/3源于名校，成就所托创新三维学习法让您全面发展~3~例6.已知正比例函数过A(2，-4),点P在此正比例函数的图像上，若直角坐标平面内另有一点B（0,4），且8ABP△S，求：点P的坐标。解：设正比例函数解析式为y=k·x（k0）已知正比例函数过A(2，-4)∴-4=2k，解得k=-2,∴正比例函数的解析式为y=-2x如图所示，画出直线y=-2x，并标出A，B两点的位置，分析题意，点P的坐标要分两种情况讨论。设点P的坐标为(x,，-2x)1）若点P在第二象限，则POBAOBABP△△△SSS根据题意，得8=PAxBOxBO21218=Px4212421解得Px=2又点P在第二象限，∴Px=-2∴点P的坐标为(-2，4)2）若点P在第二象限，则AOBPOBABP△△△SSS根据题意，得8=2421421Px解得Px=6又点P在第四象限，∴Px=6∴点P的坐标为(6，-12)∴在正比例函数图像上适合条件的P点有两个：(-2，4)，(6，-12)热身练习1．下列关系中的两个量成正比例的是（C）A．从甲地到乙地，所用的时间和速度；B．正方形的面积与边长C．买同样的作业本所要的钱数和作业本的数量；D．人的体重与身高2．下列函数中，y是x的正比例函数的是（C）A．y=4x+1B．y=2x2C．y=-5xD．y=x3．下列说法中不成立的是（D）A．在y=3x-1中y+1与x成正比例；B．在y=-2x中y与x成正比例C．在y=2（x+1）中y与x+1成正比例；D．在y=x+3中y与x成正比例源于名校，成就所托创新三维学习法让您全面发展~4~4．若函数y=（2m+6）x2+（1-m）x是正比例函数，则m的值是（A）A．m=-3B．m=1C．m=3D．m-35．已知（x1，y1）和（x2，y2）是直线y=-3x上的两点，且x1x2，则y1与y2的大小关系是（B）A．y1y2B．y1y2C．y1=y2D．以上都有可能6．下列函数中，正比例函数是：（D）A．25yxB．25yx－1C．245yxD．25yx7．形如___y=kx(k0)________的函数是正比例函数．8．若x、y是变量，且函数y=（k+1）xk2是正比例函数，则k=___1______．9．正比例函数y=kx（k为常数，k0）的图象依次经过第__二、四______象限，函数值随自变量的增大而___减小______．10．已知y与x成正比例，且x=2时y=-6，则y=9时x=___-3_____．11．已知82)3(mxmy是正比例函数，则m=3．12．函数nmxmyn12)2(，当m=0，n=0时为正比例函数；自我测试1．已知y是x的正比例函数，且当x=2时，y=2，求y与x之间的比例系数，写出函数解析式，并求当y=34时，x的值。解：∵y是x的正比例函数，设函数解析式为y=kx(k≠0)∵当x=2时，y=2k=2，解得k=2∴函数解析式为y=2x当y=34时，即2x=34，解得x=62.2．已知正比例函数y=(5-2k)x的图像经过第二、四象限，求k的取值范围。解：∵正比例函数y=(5-2k)x的图像经过第二、四象限∴5-2k0，解得25k源于名校，成就所托创新三维学习法让您全面发展~5~3.已知2y-3与4x+5成正比例，且当x=1时，y=15，求y与x的函数关系式。解：∵2y-3与4x+5成正比例设解析式为2y-3=k(4x+5)(k≠0)将x=1，y=15代入解析式，得2×15-3=（4×1+5）k,解得k=3∴解析式为2y-3=3×(4x+5)，即y=6x+94.函数y=(k-2)2)2(kx是正比例函数，且y的值随着x的减小而增大，求k的值。解：∵函数y=(k-2)2)2(kx是正比例函数，∴k-2≠0且（k-2）2=1,解得k=3或k=1∵y的值随着x的减小而增大∴k-20，解得k2∴k=15.已知y=(k-2)x+2k+k-6为正比例函数。（1）求k的值及函数解析式（2）当x取什么值时，函数的值为43解：(1)∵y=(k-2)x+2k+k-6为正比例函数∴06022kkk，解得k=-3∴函数解析式为y=-5x(2)∵y=-5x=43，解得x=2036.一个正比例函数的图像经过点A（-1，3），B(-a，-a-1)，求a的值。解：设正比例函数的解析式为y=kx(k≠0)∵函数的图像经过点A（-1，3），B(-a，-a-1)代入解析式，得到kaak13解得k=-3，a=41∴a的值为41源于名校，成就所托创新三维学习法让您全面发展~6~7.已知点P（2a，3b）且a与b互为相反数，过点P作y轴的垂线，垂足为点H；如果15POH△S。求：(1)直线OP的解析式；(2)点P的坐标。解：∵点P（2a，3b）且a与b互为相反数∴点P也可表示为（2a,-3a），点P在第二或第四象限（如图）∵15POH△S∴21∣2a∣•∣-3a∣=15，解得a=±5点P坐标为（25，-35）或（-25，35）设直线OP解析式为y=kx（k≠0），将点P坐标带入，解得k=-23∴直线OP解析式为y=-23x8.点燃的蜡烛，长度按照与时间成正比例缩短，一支长21cm的蜡烛，点燃6分钟后，缩短3.6cm.设蜡烛点燃x分钟后，缩短ycm，求y的函数解析式和x的取值范围。解：∵y与x成正比例，设y与x的函数解析式为y=kx(k≠0)根据题意，将x=6，y=3.6代入解析式，得k=66.3=53∴函数解析式为y=53x∵y≤21，∴x≤35∵x≥0，∴x的取值范围是0≤x≤35.9.已知正比例函数图像过点（-2,5），过图像上一点A作y轴的垂线，垂足为B的坐标为（0，-3）；（1）求函数解析式（2）在直角坐标平面内画出函数图像；（3）求A点坐标及AOB△S解：(1)设正比例函数解析式为y=kx(k≠0)将（-2，5）代入解析式，解得k=25∴函数解析式为y=25x源于名校，成就所托创新三维学习法让您全面发展~7~(2)函数图像见图：(3)将y=-3代入解析式，得x=56,∴A点坐标（56，-3）AOB△S=21×56×3=5910.已知直线y=kx过点（21，3），A为y=kx图像上的一点，过点A向x轴引垂线，垂足为点B，AOB△S=5(1)求函数解析式(2)在直角坐标平面内画出函数图像；(3)求A点、B点的坐标。解：(1)设正比例函数解析式为y=kx(k≠0)将（21，3）代入解析式，解得k=6∴函数解析式为y=6x(2)函数图像见下图：源于名校，成就所托创新三维学习法让您全面发展~8~(3)∵AOB△S=5，∴5x21AAy，即5x6x21AA，解得xA=±315∴A（315，152），B（315，0）或A（－315，152），B（－315，0）11.已知在正比例函数f(x)=(2m-3)722mx中，y随x的值减小而减小。（1）（1）求m的值；（2）（2）求f(32);（3）（3）在直角坐标平面内画出函数图像，并根据图像说明，当x取何值时，2y解：(1)∵f(x)=(2m-3)722mx为正比例函数∴2m2-7=1且2m-3≠0解得m=±2∵y随x的值减小而减小∴2m-30,解得m1.5∴m=2,函数解析式为f(x)=x(2)将x=32代入解析式，得f(32)=32(3)函数图像：由函数图象可知，当x≤-2时，y≤-2