结构可靠度计算方法(一次二阶矩)讲解

southwestjIaotongunIversIty西南交通大学SouthwestJiaotongUniversity《隧道与地下结构可靠度》课程第三讲结构可靠度计算方法龚伦副教授主要内容1.基本概念2.一次二阶矩理论的中心点法3.一次二阶矩理论的验算点法(JC法)4.映射变换法5.实用分析法southwestjIaotongwnIversIty一、基本概念西南交通大学SouthwestJiaotongUniversity现代的结构可靠度理论是以概率论和数理统计学为基础发展起来的，要解决的中心问题是围绕着怎样描述和分析可靠度，以及研究影响可靠度各基本变量的概率模型。1、解决的问题结构可靠度计算方法分精确法和近似法两种。精确法：求解结构的失效概率pf的方法，通常称为全概率法；近似法：一次二阶矩计算方法等，虽然是近似的，但仍属概率法。2、计算方法结构功能函数大多是非线性函数，且非线性不是很强的条件下，但又不能直接精确积分计算得到结构的可靠度，而通过计算结构可靠指标，近似得到结构可靠度的计算方法。在通常情况下，结构功能函数的一阶矩(均值)和二阶矩(方差)较容易得到，故称之为一次二阶矩法。3、一次二阶矩法一次二阶矩法是一种在随机变量的分布尚不清楚时，采用均值和标准差的数学模型，求解结构的可靠指标、结构可靠度的方法。该法将功能函数在某点用泰勒级数展开，使之线性化，然后求解结构的可靠度，因此称为一次二阶矩。),,,(21nxxxgZsouthwestjIaotongwnIversIty二、一次二阶矩理论的中心点法西南交通大学SouthwestJiaotongUniversity中心点法是结构可靠度研究初期提出的一种方法。其基本思想：首先，将非线性功能函数在随机变量的平均值(中心点)处作泰勒级数展开，并保留至一次项；然后，近似计算功能函数的平均值和标准差。1、一次二阶矩中心点法设X1,X2,…,Xn是结构中n个相互独立的随机变量，其平均值为,标准差为,功能函数将功能函数Z在平均值P*(μX1,μX2,…,μXn)处展开且保留至一次项，即(3-1)),,,(21nxxxgZiXiXinXiniiXXXXXggZ1),,,(212、推导过程ZL平均值和方差为：(3-2)2212211),,,()(),,,()(2121iLninLXniiLLZXXXniXiniiXXXLZXgZEZEgXEXggZE结构可靠指标为(3-3)212,,,21inLLXniiXXXZZXgg可靠指标β的几何意义是什么？证明如下功能函数泰勒级数展开至一次项，即(3-4)假定正态变换，即：(3-5)inXiniiXXXXXggZ1),,,(21iiXXiiXX3、几何意义将(3-5)式代入(3-4)式，得(3-6)inXniiiXXXXXggZ1),,,(21(3-6)式为一个超平面方程，点P*(μX1,μX2,…μXn)到平面的距离为：(3-7)niXiXXXinXggd122),,,(21中心点法验算点法极限方程曲面可靠区均值点显然，点P*(μX1,μX2,…,μXn)到平面的距离d，就是所求的可靠指标值β，两者是相等的。P*优点：计算简便。缺点：对于非线性功能函数，均值点一般在可靠区内，而不在极限边界上；选择不同极限状态方程（数学表达式不同，同样物理含义），得到的可靠指标不同。例如：p30例3-1。适用条件：结果比较粗糙，适用于可靠度要求不高的情况，如钢筋混凝土结构正常使用极限状态的可靠度分析。4、优缺点[例题1]设X1,X2,…,Xn是结构中n个相互独立的随机变量，其平均值为μxi（i=1,2,…,n)，标准差为σxi(i=1,2,…,n)，功能函数Z=g(X1,X2,…,Xn)。求结构可靠指标β？[解]将功能函数Z在随机变量的平均值处泰勒级数展开，且保留一次项，即iXiniinXXggZ121),,,(5、举例ZL的平均值和方差为：结构可靠指标为：),,,()(21nXXXZgZE22122122)()(iLXniiiiiniiZXgpXEXXgZEZEniXiXXXZZinXgg122),,,(21[例题2]某结构构件正截面强度的功能函数为Z＝g(R,S)=R-S，其中抗力R服从对数正态分布，μR=100kNm，δR=0.12；荷载效应S服从极值I型分布，μS=50kNm，δS=0.15。试用中心点法求结构失效概率Pf?[解]：1212.0100RRR5.715.050SSS结构可靠指标结构失效概率533.35.712501002222SRSR410078.2)533.3()(fpsouthwestjIaotongwnIversIty三、一次二阶矩理论的验算点法西南交通大学SouthwestJiaotongUniversityJC法是Hasofer,Lind,Rackwitz和Fiessler,Paloheimo和Hannus等人提出的验算点法。适用于随机变量为非正态分布的结构可靠指标的计算。通俗易懂，计算精度又能满足工程实际需要。国际结构安全度联合委员会(JCSS)推荐使用，故称为JC法。我国《建筑结构设计统一标准(GBJ68-84)》和《铁路工程结构设计统一标准(GB50216-94)》中都规定采用JC法进行结构可靠度计算。1、验算点法（JC法）将P*（X*1,X*2,…,X*n)定义为验算点（设计点），故称之为验算点法。又因为是在中心点法的基础上改进的，故称为一次二阶矩的改进方法。数学推导过程如下：设X1,X2,…,Xn(i=1,2,,n)为基本变量，且相互独立，则极限状态功能函数方程为：(3-8)将极限方程用泰勒级数在P*（X*1,X*2,…,X*n)点上展开，取一次项，可得极限方程为：(3-9)),,,(21nXXXgZ0),,,(*1***2*1*iipniinXXXgXXXgZ2、推导过程设(3-10)有(3-11)将(3-11)代入(3-9)，得(3-12)iiXXiiXX*0),,,(*1**2*1*iXiipniinXXXgXXXgiXiiiiiXgXXXgXg**Z的平均值为：(3-13)验算点在极限边界上，即又(3-14)将(3-14)代入(3-13)，得(3-15)*1**2*1)(),,,()(*iiXpniinZXXEXgXXXgZEi0),,,(**2*1nXXXgiXiXE)(iiXiXpniiZXXg*1*2.1按定义推导Z的标准差σZ为：(3-16)则可靠指标β为：(3-17)2112*niXPiZiXg21121***niXPiniXXipiiiiXgXXg随机变量满足正态分布，即(3-18)其中：(3-19)**coscos*iiiiiiXXXiXiXXiXXXniXPiXPiXiiiXgXg12***cos由(3-12)，得(3-19)此为超平面方程，均值点P(μX1,μX2,…,μXn)到超平面的距离d为：(3-20)0*1*iXiipniiXXXg21121***niXPiniXXipiiiiXgXXgd2.2按几何意义推导各变量的方向余弦为：(3-21)显然，两种方法得到的结果是一致的。niXPiXPiXiiiXgXg12***cos将(3-8)与(3-18)联立，求得β和各变量值，再代入到(3-8)和(3-18)，且联立求解，得到新的一组β和各变量值。直到满足下式为止，即(3-22)迭代结束，计算完成。1nn2.3迭代过程两个随机变量为正态分布时，其极限方程为0),(SRSRgZRRSSRRSS0SRSRSR标准化变换极限状态方程变为(3-23)(3-24)(3-25)3、正态分布时的推导过程0coscosRSRS222222coscosSRSRSRRRSRsS式中将(3-25)变为标准法线式直线方程(3-26)(3-27)是坐标系中原点到极限状态直线的距离(其中P*为垂足)。在验算点法中，的计算就转化为求的长度。RSOO*PO*PO两个正态随机变量的极限状态方程和设计验算点*)*,(*RSPOSRSSSRRRO非正态分布时，可采取以下三种方法：当量正态化法（JC法）映射变换法实用分析法JC法为当量正态化法，将原来非正态分布随机变量Xi用等效正态分布代替，要求满足以下2个条件：原函数值F(xi*)与当量正态函数值F’(xi*)相等原概率密度值f(xi*)与当量正态分布概率密度值f’(xi*)相等iX4、非正态分布时JC法的等效正态分布图*ix)(iXxfi原分布FXi(xi*),fXi(xi*)等效正态分布F’Xi(xi*),f’Xi(xi*)ixO条件(1)和(2)的数学表达式为(3-20)(3-21)由(3-20)，得(3-22)由(3-21)，得(3-23)iiXXiixxF**)()()()()(****iXiXiXiXxfxfxFxFiiiiiiiiiiiXXXiiXXiiiXiXxdXxddXxdFxf1)()(****4.1当量正态化法-JC法由(3-22)，得(3-24)将(3-24)代入(3-23)，得(3-25)由(3-24)和(3-25)，得(3-26)*1*iXXXixFxiiiiiiXiXiXxFxf1)()(*1*)(**1*1*iXiXXXiXiXxfxFxFxiiiiii将(3-26)代入(3-18)、(3-19)和(3-20)进行迭代计算，就可求解随机变量非正态分布的可靠度问题。显然，JC法通过当量变换，使得非正态分布的随机变量满足正态分布要求，进而应用满足正态分布的方法进行迭代计算，求解非正态分布随机变量的可靠度问题。李云贵(1993)提出映射变换法。具体数学过程如下：设结构中的n个相互独立的随机变量为X1,X2,…,Xn，其概率分布函数为Fi(xi)(i=1,2,…,n)，概率密度函数为fi(xi)(i=1,2,…,n)，极限状态方程为Zx=g(X1,X2,…,Xn)=0(3-27)映射变换(3-28)则(3-29)),,2,1)(()(niYXFiiiiiiiiiXFYYFX114.2映射变换法将(3-29)代入(3-27)，得(3-30)由于Yi是一个标准正态随机变量，则(3-31)于是(3-32)(3-33)(3-34)),,,(,,,211212111nnnYY