利用导数研究不等式恒成立问题

利用导数研究不等式恒成立问题方法一分离参数法解决不等式恒成立问题[典例](2019·石家庄质量检测)已知函数f(x)＝axex－(a＋1)(2x－1)．(1)若a＝1，求函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程；[解]若a＝1，则f(x)＝xex－2(2x－1)．即f′(x)＝xex＋ex－4，则f′(0)＝－3，f(0)＝2，所以所求切线方程为3x＋y－2＝0.(2)当x0时，函数f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．[解]由f(1)≥0，得a≥1e－10，则f(x)≥0对任意的x0恒成立可转化为aa＋1≥2x－1xex对任意的x0恒成立．设函数F(x)＝2x－1xex(x0)，则F′(x)＝－2x＋1x－1x2ex.当0x1时，F′(x)0；当x1时，F′(x)0，所以函数F(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以F(x)max＝F(1)＝1e.于是aa＋1≥1e，解得a≥1e－1.故实数a的取值范围是1e－1，＋∞.[解题技法]1．分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题．2．求解含参不等式恒成立问题的关键是过好“双关”转化关通过分离参数法，先转化为f(a)≥g(x)(或f(a)≤g(x))对∀x∈D恒成立，再转化为f(a)≥g(x)max(或f(a)≤g(x)min)求最值关求函数g(x)在区间D上的最大值(或最小值)问题[对点训练]已知函数f(x)＝xex，且对任意的x∈(0,2)，都有f(x)1k＋2x－x2成立，求k的取值范围．解：由题意知f(x)＝xex1k＋2x－x2对任意的x∈(0,2)都成立，由xex0，知k＋2x－x20，即kx2－2x对任意的x∈(0,2)都成立，从而k≥0，故不等式可转化为kexx＋x2－2x.令g(x)＝exx＋x2－2x，所以g′(x)＝exx－1x2＋2(x－1)＝(x－1)exx2＋2，令g′(x)＝0，得x＝1，显然函数g(x)在(1,2)上单调递增，在(0,1)上单调递减，所以kg(x)min＝g(1)＝e－1.综上所述，实数k的取值范围是[0，e－1)．方法二等价转化法解决不等式恒成立问题[典例](2019·合肥六校联考)已知函数f(x)＝(x＋a－1)ex，g(x)＝12x2＋ax，其中a为常数．(1)当a＝2时，求函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；[解]因为a＝2，所以f(x)＝(x＋1)ex，所以f(0)＝1，f′(x)＝(x＋2)ex，所以f′(0)＝2，所以所求切线方程为2x－y＋1＝0.(2)若对任意的x∈[0，＋∞)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．[解]令h(x)＝f(x)－g(x)，由题意得h(x)min≥0在x∈[0，＋∞)上恒成立，因为h(x)＝(x＋a－1)ex－12x2－ax，所以h′(x)＝(x＋a)(ex－1)．①若a≥0，则当x∈[0，＋∞)时，h′(x)≥0，所以函数h(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以h(x)min＝h(0)＝a－1，则a－1≥0，得a≥1.②若a0，则当x∈[0，－a)时，h′(x)≤0；当x∈(－a，＋∞)时，h′(x)0，所以函数h(x)在[0，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增，所以h(x)min＝h(－a)，又因为h(－a)h(0)＝a－10，所以不合题意．综上，实数a的取值范围为[1，＋∞)．[解题技法]等价转化法求解不等式恒成立问题的思路遇到f(x)≥g(x)型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数h(x)＝f(x)－g(x)或“右减左”的函数u(x)＝g(x)－f(x)，进而只需满足h(x)min≥0或u(x)max≤0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论．解：f′(x)＝(1－2x－x2)ex，令f′(x)＝0，得x＝－1±2，当x∈(－∞，－1－2)时，f′(x)0；当x∈(－1－2，－1＋2)时，f′(x)0；当x∈(－1＋2，＋∞)时，f′(x)0.所以f(x)在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)上单调递减，在(－1－2，－1＋2)上单调递增．[对点训练]设函数f(x)＝(1－x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求实数a的取值范围．解：令g(x)＝f(x)－ax－1＝(1－x2)ex－(ax＋1)，令x＝0，可得g(0)＝0.g′(x)＝(1－x2－2x)ex－a，令h(x)＝(1－x2－2x)ex－a，则h′(x)＝－(x2＋4x＋1)ex，当x≥0时，h′(x)0，h(x)在[0，＋∞)上单调递减，故h(x)≤h(0)＝1－a，即g′(x)≤1－a，要使f(x)－ax－1≤0在x≥0时恒成立，需要1－a≤0，即a≥1，此时g(x)≤g(0)＝0，故a≥1.综上所述，实数a的取值范围是[1，＋∞)．