正弦定理和余弦定理

第六节正弦定理和余弦定理(全国卷5年14考)【知识梳理】1.正弦定理与余弦定理正弦定理余弦定理内容a2=______________b2=______________c2=______________a____________2RsinAbsinBcsinCb2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosC正弦定理余弦定理变形(1)a=2RsinA,b=________,c=________(2)a∶b∶c=_____________________(3)asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA222222222bcacosA;?2bccabcosB;2acabc cosC2ab2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC2.△ABC的面积公式(1)S△ABC=(h表示a边上的高).(2)S△ABC=(3)S△ABC=r(a+b+c)(r为内切圆半径).1ah2g111absinCacsinBbcsinA.22212【常用结论】三角形中的必备结论(1)ab⇔AB(大边对大角).(2)A+B+C=π(三角形内角和定理).(3)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,(4)射影定理:bcosC+ccosB=a,bcosA+acosB=c,acosC+ccosA=b.ABCABCsincos,cossin.2222【基础自测】题组一:走出误区1.判断正误(正确的打“√”错误的打“×”)(1)在△ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角C,能用余弦定理求边c.()(2)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形.()(3)在△ABC中,sinAsinB的充分不必要条件是AB.()提示:根据正弦定理和余弦定理知(3)是错误的,(1)(2)是正确的.答案:(1)√(2)√(3)×2.在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b,2asinB=b,则角A等于()A.B.C.?D.34612【解析】选C.由2asinB=b可得:2sinAsinB=sinB,故1sinA,A.263.已知锐角△ABC的面积为BC=4,CA=3,则角C的大小为()A.75°B.60°C.45°D.30°33，【解析】选B.由三角形的面积公式,得BC·CA·sinC=又因为三角形为锐角三角形,所以C=60°.12133343sinC33sinC22，即，解得，4.在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,则A的取值范围是________.【解析】由已知不等式结合正弦定理得a2≤b2+c2-bc,所以b2+c2-a2≥bc,所以因为y=cosx在上为减函数.故A的取值范围是答案:222bca1cosA.2bc2(0,)2(0,].3(0,]3题组二:走进教材1.(必修5P10B组T2改编)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cbcosA,则△ABC为()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形【解析】选A.依题意得sinCsinBcosA,所以sin(A+B)sinBcosA,即sinBcosA+cosBsinA-sinBcosA0,所以cosBsinA0.又sinA0,于是有cosB0,B为钝角,△ABC是钝角三角形.2.(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中,BC=1,AC=5,则AB=()(源于教材必修5P8练习T1)C5cos25，A.42B.30C.29D.25【解析】选A.在△ABC中,由余弦定理得AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cosC,所以22C53cosC2cos12()1255，23AB251251()32,AB42.5所以3.(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A=________.(源于教材必修5P4例2)6【解析】由题意:结合bc可得B=45°,则A=180°-B-C=75°.答案:75°36bcbsinC2sinBsinBsinCc3，即22，4.(必修5P3例1改编)在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=则△ABC的面积等于________.23，【解析】设△ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c.由题意及余弦定理得解得c=2.所以答案:2222bcac16121cosA2bc24c2，11SbcsinA42sin6023.2223考点一利用正、余弦定理解三角形【题组练透】1.在△ABC中,已知a=2,b=,A=45°,则满足条件的三角形有()A.一个B.两个C.0个D.无法确定6【解析】选B.由正弦定理得因为ba,所以B=60°或120°,故满足条件的三角形有两个.bsinA6sin453sinB,a222.已知锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=2A,则的取值范围是()asinAb33331331A.,B.,C.,D.,62422262【解析】选D.因为B=2A,所以sinB=sin2A=2sinAcosA,由正弦定理得b=2acosA,a1asinAsinA1,tanA.b2cosAb2cosA2所以因为△ABC是锐角三角形,所以所以即的取值范围是0A,20B2A,A,264 0C3A,2解得3311tanA1,tanA.3622所以asinAb31(,).623.在△ABC中,AB=2,D为AB的中点,△BCD的面积为则AC等于()B,3334，A.2B.7C.10D.19【解析】选B.由题意可知在△BCD中,BD=1,所以△BCD的面积解得BC=3,在△ABC中,由余弦定理可得:AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB=22+32-2×2×3×=7,所以AC=B,311333SBCBDsinBBC2224，127.4.如图所示,在平面四边形ABCD中,AB⊥AD,AC⊥CD,AD=3AC,则AC=________.AB2,BC3,【解析】设AC=x,AD=3x,在Rt△ACD中,得所以在△ABC中,由余弦定理得22CDADAC22x,CD22sinCAD,AD32222ABACBCx1cosBAC2ABAC22xg，由于∠BAC+∠CAD=所以cos∠BAC=sin∠CAD,即解得x=3答案:32，22x122,3x8x30,322x整理得1(x).3舍【规律方法】1.利用正弦定理可以解决的两类问题(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角.(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而进一步求出其他的边和角.由于三角形的形状不能唯一确定,会出现两解、一解和无解三种情况.在△ABC中,已知a,b和A,解的个数见下表A为钝角A为直角A为锐角ab一解一解一解a=b无解无解一解ab无解无解absinA两解a=bsinA一解absinA无解2.利用余弦定理可以解决的两类问题(1)已知两边及夹角,先求第三边,再求其余两个角.(2)已知三边,求三个内角.考点二判断三角形的形状【典例】(1)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定(2)在△ABC中,若2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC,且sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状.世纪金榜导学号【解析】(1)选B.因为bcosC+ccosB=asinA,由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,所以sin(B+C)=sinAsinA,可得sinA=1,所以所以三角形为直角三角形.A2，【答题模板微课】本例（1）的求解过程可模板化为：建模板：选B.“由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,”………………………………由正弦定理边化角“所以sin(B+C)=sinAsinA,”………………………………三角恒等变形“可得sinA=1,所以,”………………………………得出内角的值或关系“所以三角形为直角三角形.”………………………………判断三角形形状A2套模板：在△ABC中，若c-acosB=(2a-b)cosA,则△ABC的形状为________.【解析】因为c-acosB=(2a-b)cosA,所以由正弦定理得sinC-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA,………………………………由正弦定理边化角所以sin(A+B)-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA,故cosA(sinB-sinA)=0,………………………………三角恒等变形所以cosA=0或sinA=sinB.即或A=B.………………………………得出内角的值或关系故△ABC为等腰或直角三角形.………………………………判断三角形的形状答案：等腰或直角三角形A2(2)由已知,结合正弦定理,得2a2=(2b+c)·b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc,又由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,所以bc=-2bccosA,即由于A为三角形的内角,所以1cosA,22A.3对于已知2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC,结合正弦定理,有2sin2A=(2sinB+sinC)sinB+(2sinC+sinB)sinC,即sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC=又由sinB+sinC=1,得sin2B+sin2C+2sinBsinC=1,223sin,34所以sinBsinC=从而有sinB=sinC=因为0Bπ,0Cπ,0B+Cπ,所以B=C=所以△ABC是等腰的钝角三角形.1.41.26，【互动探究】1.若本例(1)条件改为“asinA+bsinBcsinC”,那么△ABC的形状为__________.【解析】根据正弦定理可得a2+b2c2,由余弦定理得故C是钝角,所以△ABC是钝角三角形.答案:钝角三角形222abccosC02ab，2.若本例(1)条件改为“若2sinAcosB=sinC”,那么△ABC的形状为____________.【解析】方法一:由已知得2sinAcosB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,即sin(A-B)=0,因为-πA-Bπ,所以A=B.所以△ABC为等腰三角形.方法二:由正弦定理得2acosB=c,再由余弦定理得所以△ABC为等腰三角形.答案:等腰三角形22222acb2acabab.2acg【规律方法】判断三角形形状的两种思路(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.(2)化角:通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状.此时要注意应用A+B+C=π这个结论.【对点训练】1.在△ABC中,若sin2A=sinB=sinC,且(b+c-a)(b+c+a)=3bc,则该三角形的形状是()A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形【解析】选D.在△ABC中,由sinB=sinC,结合正弦定理可得b=c.代入(b+c-a)(