椭圆中点弦的斜率公式及应用

—1—椭圆中点弦的斜率公式及应用山东高密市第三中学任志勇单秀丽二次曲线的中点弦有许多有趣的性质，下面介绍椭圆中点弦的斜率公式，利用它可起到事半功倍的效果．定理设有二次曲线的方程为,122nymxＡ、Ｂ两点在曲线上，Ｍ是弦ＡＢ的中点，Ｏ为坐标原点，则mnkkOMAB．证明设Ａ、Ｂ两点坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2)，则点Ｍ的坐标为（2,22121yyxx）．∵Ａ、Ｂ两点在曲线上，∴,12121nymx12222nymx两式相减得：021222122nyymxx整理得mnxxyy21222122，又1212xxyykAB，2121xxyykOMmnkkxxyykkOMABOMAB,21222122．证毕．注特别地，当nm＞０时，二次曲线为圆，显然ＯＭ⊥ＡＢ，有1OMABkk．例１过椭圆14922yx内一点Ｄ（１，０）引动弦ＡＢ，求弦ＡＢ的中点Ｍ的轨迹方程．解设动点Ｍ的坐标为（x,y），则1,xykkxykDMABOM由定理得941xyxy整理得049422xyx这就是点Ｍ的轨迹方程．例２设椭圆122byax与直线1yx相交于Ａ、Ｂ两点，且22AB，又ＡＢ的中点Ｍ与—2—原点Ｏ的连线的斜率为22，求a、b的值．解由定理得（－１）·22＝－abba2,（１）将xy1代入椭圆方程整理得：012)(2bbxxba设Ａ、Ｂ两点横坐标分别为x1、x2,则babxxbabxx1,22121∴babbabAB14)(2112，∴2)(2222baabba即0)()(2abbaba（２）由（１）、（２）解得.32,31ba