第1讲相似基本模型汇总(6份)

老大笔记ByMrH1相似（上篇）基本模型汇总【教学重难点】1、相似基本模型：①A字、8字；②反A、反8；③角分线；④旋转型；⑤一线三等角；⑥线束模型；⑦内接矩形；⑧相似比与面积比2、基本辅助线：①作平行线构造A字、8字；②作垂线构造直角三角形相似；3、基本问题类型：①证明相似；②求线段长；③求线段比：CDAB；④证明线段乘积式：cdab；bca2【模块1基本相似模型】【模型1】①“A”字&②“8”字1、“A”字：△ABC∽△ADE（1）对应相比：①下上下上；②大小大小（2）对应边比：BCDEACAEABAD2、“8”字：△ABC∽△ADE（1）对应相比：①下上下上；②大小大小（2）对应边比：BCDEACAEABAD【点拨】横竖比例可转化，后面内接矩形模型、线束模型全是“A”字模型的拓展.【模型2】①反“A”字&②反“8”字1、反“A”字：△ABC∽△ADEⅠ）：DE在内部（1）对应边比：BCDEACAEABAD（2）共线边乘积相等：ABAEACADⅡ）：DE拉下来经过C，又称之为母子型，为相似常考模型（1）对应边比：BCDEACAEABAD（2）公共边平方=共线边之积：ABAEAC2老大笔记ByMrH2☆拓展延伸：射影定理，即母子型相似公共边平方=共线边之积：求线段长屡试不爽CDBDADBCBDABBCCDAC222Ⅲ）：DE继续往下拉到AC延长线上（1）对应边比：BCDEACAEABAD（2）共线边乘积相等：ABAEACAD☆拓展延伸：特殊情况，燕尾！燕尾属于斜A的特殊情况，结论相同且经常考到2、反“8”字：△ABC∽△ADE（1）对应边比：BCDEACAEABAD（2）共线边乘积相等：ABAEACAD☆拓展延伸：反“8”字，两组相似共存①△ABC∽△ADE→△ACE∽△ABD②最常使用：证明图示四组相等角【证明】∵△ABC∽△ADE∴AEACADAB（对应相比，别人自己比自己）∴AEADACAB（交换顺序）又∵∠CAE=∠BAD∴△ACE∽△ABD老大笔记ByMrH3【模型3】角分线模型1、角分线定理：角分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例（1）角分线定理：CDBDACAB（2）证明：作平行构造A、8相似，平行于角分线或者平行于边.【点拨】作平行线转移共线边之比，角分线+平行线→等腰三角形【证明】（1）如图1，作MD∥AC（构造“A”字）则有DMBMAMBMDCBD，ACABDMBM（自己比自己）∴DCBDACAB（2）如图2，作CM∥AD（构造“A”字）则有AMABDCBD，ACAM（角分线+平行线→等腰三角形）∴DCBDACAB【模型4】旋转型相似→“成对”出现1、如图1&2，△ABC∽△ADE→△ABD∽△ACE【证明】示例图1，图2类似∵△ABC∽△ADE∴∠BAD+∠CAD=∠CAD+∠CAEAEACADAB（对应相比，别人自己比自己）∴∠BAD=∠CAE，AEADACAB（交换顺序）∴△ABD∽△ACE☆拓展延伸：对应顶点连线交点与三角形三个顶点必定四点共圆，有两组（待补充暂时不管）老大笔记ByMrH42、如图1&2，△ABC∽△ADE（且△ABC、△ADE为等腰）→△ABD≌△ACE【点拨】这是一种特殊情况，也是初一所学手拉手模型，即相似比为“1”△ABD与△ACE相似比=1ACAB，故△ABD≌△ACE【模型5】一线三等角相似1、一级形态：基本一线三等角，锐角&钝角，∠B=∠C=∠EDF→△BDE∽△CFD【证明】∵∠B=∠EDF又∵∠EDC=∠B+∠BED∠EDC=∠EDF+∠FDC∴∠BED=∠FDC∴△BDE∽△CFD（1）对应边：DFDECFBDCDBE（2）※CFBECDBD.记作：横×横=竖×竖☆拓展延伸：若D是BC中点，则△BDE∽△CFD∽△EDF，且DE、DF是角平分线【证明】示例，图3，锐角类似∵△BDE∽△CFD∴DFDECDBE，BD=CD∴DFDEBDBE（自己比自己）∴DFBDDEBE（交换后为对应边之比）∴△BDE∽△EDF老大笔记ByMrH52、二级形态：三垂直模型→K型相似☆基本结论1：△BDE∽△CFD，将图1相似三角形进行平移可得图2、图3相似☆基本结论2：矩形内两垂直线段之比等于矩形边长之比：QTPQMFDE☆基本结论3：特别地，当矩形PQTR为正方形时，DE=MF【模型6】内接矩形→高之比等于相似比（横比=竖比，横竖比例转化）1、如图1，Rt△ABC内接矩形BDEF：“A”字相似，BCDEABAD（相似边之比）2、如图2，Rt△ABC内接矩形DEFH：“A”字相似，BCHFAMAN（高比=相似比）☆小技巧：BCAMACAB，利用等面积法可求AM3、如图3，△ABC内接矩形DEFH：“A”字相似，BCHFAMAN（高比=相似比）老大笔记ByMrH6【模型7】线束模型1、“A”字线束：若EF∥BC，则有：AMANMCNFBMEN2、“8”字线束：若EF∥BC，则有：AMANMCNFBMEN【模型8】相似比与面积比【点拨】与平行有关相似，所有面积之比只看“A”字相似的三角形的相似比，其它形状利用割补法进行转化1、如图1，示例（图2类似）已知：kABAF，mBCCD，设总面积为单位“1”则有，1122312mkSSSSSS总总总