三角形三条中线、高、角平分线相交于一点的证明

1证明三条角平分线重合过点O做ΔABC三边的垂线OM、OR、ON∵BN、CM是ΔABC的角平分线∴OM=OR=ON∴点O在∠BAC的角平分线上∴三角形的三条角平分线相交于一点证明三条高线重合求证：P、Q、O三点重合证明：如图，∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠AEB=∠AFC=90°又∵∠BAE=∠CAF∴△ABE∽△ACF∴AFAEACAB即AB·AF=AC·AE又∵AD⊥BC∴△AEQ∽△ADC，△AFP∽△ADB∴ACAQADAE，ABAPADAF即AC·AE=AD·AQ，AB·AF=AD·AP∵AB·AF=AC·AE，AC·AE=AD·AQ，AB·AF=AD·AP∴AD·AQ=AD·AP∴AQ=AP∵点Q、P都在线段AD上∴点Q、P重合∴AD与BE、AD与CF交于同一点∵两条不平行的直线只有一个交点∴BE与CF也交于此点∴点Q、P、O重合。2证明三条中线交于一点已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。求证：AE=CE.证明：如图，延长OE到点G，使OG=OB。∵OG=OB∴点O是BG的中点又∵点D是BC的中点∴OD是△BGC的一条中位线∴AD‖CG（三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）∵点O是BG的中点，点F是AB的中点∴OF是△BGA的一条中位线∴CF‖AG∵AD‖CG，CF‖AG∴四边形AOCG是平行四边形∴AC、OG互相平分∴AE=CE命题得证。