2019-2020学年新人教A版必修二-----复数-复习---课件(39张)

一、复数的概念1．复数的相等两个复数z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，并且仅当a＝c且b＝d时，z1＝z2.特别地，当且仅当a＝b＝0时，a＋bi＝0.2．虚数单位i具有幂的周期性i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0.(n∈Z)3．复数是实数的充要条件(1)z＝a＋bi(a，b∈R)∈R⇔b＝0；(2)z∈R⇔z＝z；(3)z∈R⇔z2≥0.4．复数是纯虚数的充要条件(1)z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数⇔a＝0，且b≠0；(2)z是纯虚数⇔z＋z＝0(z≠0)；(3)z是纯虚数⇔z2＜0.二、复数的运算1．复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、除，加、减法是对应实、虚部相加、减，而乘法类比多项式乘法，除法类比分式的分子分母有理化，注意i2＝－1.2．在进行复数的运算时，不能把实数集的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当z∈C时不总是成立的；(1)(zm)n＝zmn(m，n为分数)；(2)zm＝zn⇒m＝n(z≠1)；(3)z21＋z22＝0⇔z1＝z2＝0；(4)|z|2＝z2.热点考点例析复数的概念【点拨】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1)z是虚数⇔b≠0，(2)z是纯虚数⇔a＝0b≠0，(3)z是实数⇔b＝0.复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，(1)z∈R；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数．[思维点击]本题主要考查复数的分类，由复数的概念易得解法．[规范解答](1)∵一个复数是实数的充要条件是虚部为0，∴x2－3x－3＞0，①log2x－3＝0.②x－3＞0③由②得x＝4，经验证满足①③式．∴当x＝4时，z∈R.(2)∵一个复数是虚数的充要条件是虚部不等于0，∴x2－3x－3＞0，log2x－3≠0，x－3＞0.解得x＞3＋212或x3－212，x＞3且x≠4，即3＋212＜x＜4或x＞4，∴当3＋212x4或x4时，z为虚数．(3)∵一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为0且虚部不为0，∴log3x2－3x－3＝0，log2x－3≠0，x－3＞0解得x＝－1或x＝4，x＞3且x≠4.无解．∴复数z不可能是纯虚数．1．已知复数z与(z＋2)2＋8i均为纯虚数，求复数z.解析：设z＝bi(b∈R，b≠0)，则(z＋2)2＋8i＝(2＋bi)2＋8i＝(4－b2)＋(4b＋8)i，∵(z＋2)2＋8i为纯虚数，∴4－b2＝0，且4b＋8≠0.∴b＝2.∴z＝2i.【点拨】对于两个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔a＝c，b＝d.(1)根据两个复数相等的定义知，在a＝c，b＝d两式中，如果有一个不成立，那么a＋bi≠c＋di.(2)复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想的体现．把复数问题实数化处理，主要根据复数相等建立方程或方程组，通过解方程或方程组，达到解题的目的．利用复数相等的条件解题已知复数z＝1＋i，求实数a，b使az＋2b＝(a＋2z)2.[思维点击]复数问题化归为实数问题，是解决复数问题的一种重要思想方法．[规范解答]∵z＝1＋i，∴az＋2bz＝(a＋2b)＋(a－2b)i，(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.∵a，b都是实数，∴由az＋2bz＝(a＋2z)2，得a＋2b＝a2＋4a，a－2b＝4a＋2，两式相加，整理得a2＋6a＋8＝0，解得a1＝－2，a2＝－4，对应得b1＝－1，b2＝2.∴所求实数为a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2.2．i是虚数单位，若1＋7i2－i＝a＋bi(a，b∈R)，则乘积ab的值是()A．－15B．－3C．3D．15解析：因为1＋7i2－i＝1＋7i2＋i2－i2＋i＝－1＋3i，所以a＝－1，b＝3，故ab＝－3.答案：B【点拨】复数的运算是复数中的重要内容，是高考考查的热点，尤其是复数的乘、除法运算，其中融合着复数的模、共轭复数等概念，要求熟悉复数的四则运算法则及常用的运算技巧，高考一般以选择题或填空题的形式考查．复数的运算特别提醒：记住以下结论可以提高运算速度．①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；②1－i1＋i＝－i，1＋i1－i＝i；③1i＝－i.计算：[思维点击]利用复数的运算法则计算．(1)2＋i1－i21－2i；(2)4＋5i5－4i1－i.[规范解答](1)2＋i1－i21－2i＝2＋i－2i1－2i＝21－2i1－2i＝2.(2)4＋5i5－4i1－i＝5－4ii5－4i1－i＝i1－i＝i1＋i1－i1＋i＝i－12＝－12＋12i.3．若1－i1＋i2＋1＋i1－i2＝a＋bi(a，b∈R)，且z2＝1a＋bi，求z.解析：1－i1＋i2＋1＋i1－i2＝－i1＋i＋i1－i＝i1＋i2－i1－i2＝－1.∴a＋bi＝－1，∴z2＝－1.∵i2＝－1，(－i)2＝－1，∴z＝±i.【点拨】复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义以及复数的加减法的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法．复数的几何意义及应用已知z是复数，z＋2i，z2－i均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．[思维点击]可设z＝x＋yi(x，y∈R)，利用z＋2i，z2－i是实数求z，再求a的取值范围．[规范解答]设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋2i＝x＋(y＋2)i，z2－i＝x＋yi2－i＝15(x＋yi)(2＋i)＝15(2x－y)＋15(2y＋x)i.由题意知y＋2＝0，152y＋x＝0，∴x＝4，y＝－2，∴z＝4－2i.∵(z＋ai)2＝[4＋(a－2)i]2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，由已知得12＋4a－a2＞0，8a－2＞0，∴2＜a＜6.∴实数a的取值范围是(2,6)．4．已知点集D＝{z||z＋1＋3i|＝1，z∈C}，试求|z|的最小值和最大值．解析：点集D的图象为以点C(－1，－3)为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P对应的复数为z，则|OP→|＝|z|.OC与圆C交于点A，B，则|z|的最小值是|OA|＝|OC|－1＝－12＋－32－1＝2－1＝1，即|z|min＝1，|z|的最大值是|OB|＝|OC|＋1＝2＋1＝3，即|z|max＝3.1．下列四个命题：①两个复数不能比较大小；②若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集．其中真命题的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小．②由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件．③若a＝0，则ai不是纯虚数．④由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知：所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集．答案：A2．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：利用复数乘法的运算法则及复数的几何意义求解．∵(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，∴复数(2－i)2在复平面内对应点的坐标为(3，－4)，对应的点位于复平面内第四象限．答案：D3．复数3＋2i2－3i－3－2i2＋3i等于()A．0B．2C．－2iD．2i解析：方法一：3＋2i2－3i－3－2i2＋3i＝3＋2i2＋3i2－3i2＋3i－3－2i2－3i2＋3i2－3i＝13i13－－13i13＝2i.方法二：3＋2i2－3i－3－2i2＋3i＝3＋2i2＋3i－3－2i2－3i2－3i2＋3i＝13i＋13i13＝2i.答案：D4．设a，b为实数，若复数1＋2ia＋bi＝1＋i，则()A．a＝12，b＝32B．a＝3，b＝1C．a＝32，b＝12D．a＝1，b＝3解析：由1＋2ia＋bi＝1＋i，得a＋bi＝1＋2i1＋i＝1＋2i1－i1＋i1－i＝3＋i2，∴a＝32，b＝12.答案：C5．把复数z的共轭复数记作z，i为虚数单位．若z＝1＋i，则(1＋z)·z＝________.解析：(1＋z)·z＝z＋|z|2＝1－i＋2＝3－i.答案：3－i6．设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝________.答案：－1＋i解析：先设出复数z＝a＋bi，然后运用复数相等的充要条件求出a，b的值．设z＝a＋bi，则(1－i)(a＋bi)＝2i，即(a＋b)＋(b－a)i＝2i.根据复数相等的充要条件得a＋b＝0，b－a＝2，解得a＝－1，b＝1，∴z＝－1＋i.7．已知复数z1满足(z1－2)i＝1＋i，复数z2的虚部为2，且z1z2为实数，求z2.解析：由(z1－2)i＝1＋i，得z1－2＝1＋ii＝(1＋i)(－i)＝1－i，∴z1＝3－i.设z2＝x＋2i(x∈R)，则z1·z2＝(3－i)(x＋2i)＝3x＋2＋(6－x)i为实数，∴x＝6，∴z2＝6＋2i.8．已知z＝a－i1－i(a∈R且a＞0)，复数ω＝z(z＋i)的虚部减去它的实部所得的差等于32，求复数ω的模．解析：把z＝a－i1－i(a＞0)代入ω中，得ω＝a－i1－ia－i1－i＋i＝a＋12＋aa＋12i.由aa＋12－a＋12＝32，得a2＝4.又a＞0，所以a＝2.所以|ω|＝32＋3i＝325.阶段质量评估点击进入WORD链接谢谢观看！