12.3等比数列导学案(1)学习目标:1.理解等比数列的定义,能够利用定义判断一个数列是否为等比数列;2..掌握等比数列的通项公式并能简单应用;重点:等比数列和等差中项的概念及等比数列通项公式的推导和应用难点:等比数列通项公式的推导及应用。一、温故知新什么叫等差数列?通项公式是什么?什么叫等差中项?二、探求新知1、研究下面三个数列并回答问题①1、2、4、8…;②1、-1、1、-1…③1、21、41、81…问题1:上面数列都是等差数列吗?问题2:以上数列后项与前项的比有何特点?2、等比数列的定义一般地,如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的都等于常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的,通常用字母表示。3、等比数列的通项公式的推导过程设等比数列na,的公比为q方法1:(归纳法),11aa12aa,123aqaa,134aqaa,……11aqaann方法2:(累乘法)根据等比数列的定义,可以得到12aa,23aa,34aa,…,1nnaa.以上共有等式,把以上个等式左右两边分别相乘得1342312nnaaaaaaaa,即1aan,即得到等比数列的通项公式。4、等比数列的通项公式na2三、通过预习掌握的知识点1、等比数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母q表示(q≠0),即:1nnaa=q(q≠0)1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q){na}成等比数列nnaa1=q(Nn,q≠0)2隐含:任一项00qan且3q=1时,{an}为常数。2、等比数列的通项公式1:__________________________.3、等比数列的通项公式2:___________________________.4.等比中项:若a.b.c成等比数列。则__________________.5、既是等差又是等比数列的数列:非零常数列四、预习检查:1.判断下列数列是否为等比数列(1)2,2,2,2,…;(2)-1,1,2,4,8,…;(3)lg3,lg6,lg12,…;(4),,,321aaa,na;(5)已知数列na的通项公式为nna23。(6)已知数列na的通项公式为3nna2.已知数列1,-2,4,-8,16…,它的公比是_____________,通项公式是__________。3.已知数列1,—21,41,—81…则—1281是它的第_______项。4.一个等比数列的第9项是94,公比是-31,求它的第1项5.一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项3五、导学探疑例题:在等比数列{an}中,1.已知a1=3,q=-2,求a6;2.已知a3=20,a6=160,求an归纳方法:六.固学思疑:1.等比数列na中,,243,952aa则q为()A.3B.4C.5D.62.12与12,两数的等比中项是()A.1B.-1C.1D.213.等比数列na中427,3aq,求7a4.在等比数列na中,若,75,393aa则10a=___________.5.(13大纲理6)已知数列na满足12430,3nnaaa(n1,nN),则通项na=_____________.4§2.3等比数列(2)学习目标1.灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻理解等比中项概念;2.熟悉等比数列的有关性质,并系统了解判断数列是否成等比数列的方法.一、温故知新1.等比数列的定义:___________________________2.等比数列的通项公式na=.公比q满足的条件是3.等差数列有何性质?_______________________________________________4..等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么称这个数G称为a与b的等比中项.即G=(a,b同号).二、新课导学1.学习探究(1).在等比数列{na}中,2537aaa是否成立呢?(2).211(1)nnnaaan是否成立?你据此能得到什么结论?(3).2(0)nnknkaaank是否成立?你又能得到什么结论?2.等比数列的性质在等比数列中,若m+n=p+q,则mnpkaaaa.试一试:在等比数列na,已知19105,100aaa,那么18a.三.例题例1在等比数列{na}中,已知51274aa,且38124aa,公比为整数,求10a.练习1。在等比数列{na}中,已知5127aa,则111098aaaa.练习2.在7和56之间插入a、b,使7、a、b、56成等比数列,若插入c、d,使7、c、d、56成等差数列,求a+b+c+d的值.变式:三个数成等比数列,它们的积等于27,它们的平方和等于91,求这三个数。5例2.已知{},{}nnab是项数相同的等比数列,仿照下表中的例子填写表格,从中你能得出什么结论?证明你的结论.例自选1自选2na23()3nnb152nnnba1410()3n{nnba}是否等比是变式:项数相同等比数列{na}与{nb},数列{nnab}也一定是等比数列吗?证明你的结论.小结:两个等比数列的积和商仍然是等比数列.四.学习小结1.等比中项定义;2.等比数列的性质.3、公比为q的等比数列{}na具有如下基本性质:⑴数列{||}na,2{}na,{}(0)ncac,*{}()nmamN,{}kna等,也为等比数列,公比分别为2||,,,,mkqqqqq.若数列{}nb为等比数列,则{}nnab,{}nnab也等比.(2)若*mN,则nmnmaaq.当m=1时,便得到等比数列的通项公式.(3)若mnkl,*,,,mnklN,则mnklaaaa.(4)若{}na各项为正,c0,则{log}cna是一个以1logca为首项,logcq为公差的等差数列.若{}nb是以d为公差的等差数列,则{}nbc是以1bc为首项,dc为公比的等比数列.当一个数列既是等差数列又是等比数列时,这个数列是非零的常数列五.当堂检测1.在na为等比数列中,0na,224355216aaaaa,那么35aa().A.±4B.4C.2D.82.若-9,a1,a2,-1四个实数成等差数列,-9,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数列,则b2(a2-a1)=().A.8B.-8C.±8D.983.若正数a,b,c依次成公比大于1的等比数列,则当x1时,logax,logbx,logcx()A.依次成等差数列B.各项的倒数依次成等差数列C.依次成等比数列D.各项的倒数依次成等比数列4.在两数1,16之间插入三个数,使它们成为等比数列,则中间数等于.5.在各项都为正数的等比数列na中,65aa=9,则log31a+log32a+…+log310a.6.在na为等比数列中,6491aa,3720aa,求11a的值.7.已知等差数列na的公差d≠0,且1a,3a,9a成等比数列,求1392410aaaaaa.6§2.3.3等比数列的前n项和一.学习目标1.掌握等比数列的前n项和公式;2.会用公式解决有关等比数列的1,,,,nnSaanq中知道三个数求另外两个数的一些简单问题.学习过程二、学习探究等比数列的前n项和新知:等比数列的前n项和公式设等比数列123,,,naaaa它的前n项和是nS123naaaa,公比为q≠0,公式的推导方法一:则22111111nnnnSaaqaqaqaqqS(1)nqS当1q时,nS①或nS②当q=1时,nS公式的推导方法二:由等比数列的定义,32121nnaaaqaaa,有231121nnnnnaaaSaqaaaSa,即1nnnSaqSa.∴1(1)nnqSaaq(结论同上)公式的推导方法三:nS123naaaa=11231()naqaaaa=11naqS=1()nnaqSa.∴1(1)nnqSaaq(结论同上)试试:求等比数列12,14,18,…的前8项的和.三.例题例1已知a1=27,a9=1243,q0,求这个等比数列前5项的和.练习1:13a,548a.求此等比数列的前5项和.练习2:等比数列中,33139,.22aSaq,求及7例2.等比数列{}na中,301013SS,1030140SS,求20S.变式:在等比数列中,已知248,60nnSS,求3nS.例3.数列{}na的前n项和1nnSa(a≠0,a≠1),试证明数列{}na是等比数列.变式:数列na的前n项和为nS,)(,12,1*11NnSaann,则na.四.当堂检测1.等比数列{}na中,33S,69S,则9S2.在等比数列中,若332422SaSa,则公比q=.3.在等比数列中,11a,512na,341nS,则q=,n=.4.等比数列的前n项和12nns,求通项na.5.(13湖北理18)已知等比数列na满足:2310aa,123125aaa。则数列na的前六项的和