空间向量讲义(非常好用)

卓越个性化教案GFJW0901向量的数量积和坐标运算ba,是两个非零向量，它们的夹角为，则数cos||||ba叫做a与b的数量积（或内积），记作ba，即.cos||||baba其几何意义是a的长度与b在a的方向上的投影的乘积.其坐标运算是：若),,(),,,(222111zyxbzyxa，则①212121zzyyxxba；②222222212121||,||zyxbzyxa；③212121zzyyxxba④222222212121212121,coszyxzyxzzyyxxba1.2.异面直线nm,所成的角分别在直线nm,上取定向量,,ba则异面直线nm,所成的角等于向量ba,所成的角或其补角（如图1所示），则.||||||cosbaba1.3.异面直线nm、的距离分别在直线nm、上取定向量,,ba求与向量ba、都垂直的向量n，分别在nm、上各取一个定点BA、，则异面直线nm、的距离d等于AB在n上的射影长，即||||nnABd.1.4.直线L与平面所成的角在L上取定AB，求平面的法向量n（如图2所示），再求||||||cosnABnAB，则2为所求的角.Cn图1DABnmab卓越个性化教学讲义21.5．二面角方法一：构造二面角l的两个半平面、的法向量21nn、（都取向上的方向，如图3所示），则①若二面角l是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量21nn、的夹角的补角，即.||||cos2121nnnn（例如2004年高考数学广东卷第18题第（1）问）.②若二面角l是“锐角型”的如图3乙所示，那么其大小等于两法向量21nn、的夹角，即.||||cos2121nnnn③方法二：在二面角的棱l上确定两个点BA、，过BA、分别在平面、内求出与l垂直的向量21nn、（如图4所示），则二面角l的大小等于向量21nn、的夹角，即.||||cos2121nnnn1.6.平面外一点p到平面的距离先求出平面的法向量n，在平面内任取一定点A，则点p到平面的距离d等于AP在n上的射影长，即||||nnAPd.练习1．在长方体1111ABCDABCD中，1BC和1CD与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线1BC和1CD所成角的余弦值为．1n2n图3乙l1n2nl图3甲1n2nl图4BA图5Apn卓越个性化教学讲义32.如图，正四棱柱1111ABCDABCD中，12AAAB，则异面直线1AB与1AD所成角的余弦值为（）A．15B．25C．35D．453．，在四面体S-ABC中，E、F、G、H、M、N分别是棱SA、BC、AB、SC、AC、SB的中点，且EF=GH=MN,求证：ABSCACSBBCSA,,.4．如图2，正三棱柱111ABCABC的底面边长为a，侧棱长为2a，求1AC与侧面11ABBA所成的角．AB1A1D1CCD卓越个性化教学讲义45．如图3，直三棱柱111ABCABC中，底面是等腰直角三角形，90ACB°，侧棱12AADE，，分别是1CC与1AB的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD△的重心G，求点1A到平面AED的距离．6．已知正方体1111ABCDABCD的棱长为2，PQ，分别是BCCD，上的动点，且2PQ，确定PQ，的位置，使11QBPD．7．如图4，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，90ABC°，SA面ABCD，112SAABBCAD，，求面SCD与面SBA所成二面角的正切值．卓越个性化教学讲义57.如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCDEF，，分别为ABSC，的中点．（1）证明EF∥平面SAD；（2）设2SDDC，求二面角AEFD的大小的余弦值．8．(本小题满分14分)如图，三棱柱ABCABAABCCBA平面中，平面1111,,1ABCACA平面平面90BAC,3,21AAACAB.(Ⅰ)求证：ABCAA平面1；（Ⅱ）求异面直线所成角的余弦值与11BCAB；（Ⅲ）求点的距离到平面11ABCBAEBCFSD卓越个性化教学讲义69、如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值大小；（3）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为32？若存在，求出AQQD的值；若不存在，请说明理由.10．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2。E是CC1的中点，（1）求锐二面角D-B1E-B的余弦值（2）试判断AC与面DB1E的位置关系，并说明理由。（3）设M是棱AB上一点，若M到面DB1E的距离为217，试确定点M的位置。EACBD1A1B1C1D卓越个性化教学讲义7ABCDP11如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，60ABC,E，F分别是BC,PC的中点.（Ⅰ）证明：AE⊥PD;（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角正切值为62，求二面角E—AF—C的余弦值.12．长方体ABCD-A1BlClD1中，AB=2，AD=1，AA1=2，E、F分别是AB、CD的中点(1)求证：DlE⊥平面ABlF；(2)求直线AB与平面ABlF所成的角(3)求二面角A-B1F-B的大小。13．如图，三棱锥P—ABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB．(I)求证：AB平面PCB；(II)求异面直线AP与BC所成角的大小；(III)求二面角C-PA-B的大小的余弦值．卓越个性化教学讲义8课外练习1．如右下图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2．E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1．（1）求二面角C-DE-C1的正切值；（2）求直线EC1与FD1所成的余弦值．2已知，如图四棱锥ABCDP中，底面ABCD是平行四边形，PG平面ABCD，垂足为GG,在AD上，且GDAG31，EGCGBGCBG,2,是BC的中点，四面体BCGP的体积为83（Ⅰ）求异面直线GE与PC所成角余弦值；（Ⅱ）若F点是棱PC上一点，且GCDF，求FCPF的值.AEDCBA1FD1C1B1