高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案

抛物线)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。{MFM=点M到直线l的距离}范围0,xyR0,xyR,0xRy,0xRy对称性关于x轴对称关于y轴对称焦点(2p,0)(2p,0)(0,2p)(0,2p)焦点在对称轴上顶点(0,0)O离心率e=1准线方程2px2px2py2py准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准线的距离2p焦点到准线的距离p焦半径11(,)Axy12pAFx12pAFx12pAFy12pAFy焦点弦长AB12()xxp12()xxp12()yyp12()yypxyOlFxyOlFlFxyOxyOlF焦点弦AB的几条性质11(,)Axy22(,)Bxy以AB为直径的圆必与准线l相切若AB的倾斜角为，则22sinpAB若AB的倾斜角为，则22cospAB2124pxx212yyp112AFBFABAFBFAFBFAFBFp切线方程00()yypxx00()yypxx00()xxpyy00()xxpyy一．直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，，消y得：（1）当k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k≠0时，Δ＞0，直线l与抛物线相交，两个不同交点；Δ=0，直线l与抛物线相切，一个切点；Δ＜0，直线l与抛物线相离，无公共点。（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）二．关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线l：bkxy抛物线，)0(p①联立方程法：pxybkxy220)(2222bxpkbxk设交点坐标为),(11yxA,),(22yxB，则有0,以及2121,xxxx，还可进一步求出ox22,BxyFy11,Axybxxkbkxbkxyy2)(212121，2212122121)())((bxxkbxxkbkxbkxyy在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如1.相交弦AB的弦长2122122124)(11xxxxkxxkABak21或2122122124)(1111yyyykyykABak21b.中点),(00yxM,2210xxx，2210yyy②点差法：设交点坐标为),(11yxA，),(22yxB，代入抛物线方程，得1212pxy2222pxy将两式相减，可得)(2))((212121xxpyyyy2121212yypxxyya.在涉及斜率问题时，212yypkABb.在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为),(00yxM，00212121222ypypyypxxyy，即0ypkAB，同理，对于抛物线)0(22ppyx，若直线l与抛物线相交于BA、两点，点),(00yxM是弦AB的中点，则有pxpxpxxkAB0021222（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）抛物线练习及答案1、已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为。2、已知点P是抛物线22yx上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为。3、直线3yx与抛物线24yx交于,AB两点，过,AB两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,PQ，则梯形APQB的面积为。4、设O是坐标原点，F是抛物线22(0)ypxp的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60，则OA为。5、抛物线24yx的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl⊥，垂足为K，则AKF△的面积是。6、已知抛物线2:8Cyx的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且2AKAF，则AFK的面积为。7、已知双曲线22145xy，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为。8、在平面直角坐标系xoy中，有一定点(2,1)A,若线段OA的垂直平分线过抛物线22(0)ypxp焦点，则该抛物线的方程是。9、在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是10、抛物线2yx上的点到直线4380xy距离的最小值是。11、已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是。12、若曲线2y＝|x|＋1与直线y＝kx＋b没有公共点，则k、b分别应满足的条件是。13、已知抛物线y-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（）A.3B.4C.32D.4214、已知抛物线22(0)ypxp的焦点为F，点111222()()PxyPxy，，，，333()Pxy，在抛物线上，且2132xxx，则有（）Ａ．123FPFPFPＢ．222123FPFPFPＣ．2132FPFPFPＤ．2213FPFPFP·15、已知点11(,)Axy,22(,)Bxy12(0)xx是抛物线22(0)ypxp上的两个动点,O是坐标原点,向量OA,OB满足OAOBOAOB.设圆C的方程为221212()()0xyxxxyyy。(1)证明线段AB是圆C的直径;(2)当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为255时，求p的值。解：(1)证明1:22,()()OAOBOAOBOAOBOAOB，222222OAOAOBOBOAOAOBOB，整理得:0OAOB，12120xxyy，设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则0MAMB，即1212()()()()0xxxxyyyy，整理得:221212()()0xyxxxyyy，故线段AB是圆C的直径。证明2:22,()()OAOBOAOBOAOBOAOB，222222OAOAOBOBOAOAOBOB，整理得:0OAOB，12120xxyy……..(1)设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则即2112211(,)yyyyxxxxxxxx，去分母得:1212()()()()0xxxxyyyy，点11122122(,),(,),(,)(,)xyxyxyxy满足上方程,展开并将(1)代入得:221212()()0xyxxxyyy，故线段AB是圆C的直径。证明3:22,()()OAOBOAOBOAOBOAOB，222222OAOAOBOBOAOAOBOB，整理得:0OAOB，12120xxyy……(1)以线段AB为直径的圆的方程为2222121212121()()[()()]224xxyyxyxxyy，展开并将(1)代入得:221212()()0xyxxxyyy，故线段AB是圆C的直径(2)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则121222xxxyyy2211222,2(0)ypxypxp，22121224yyxxp，又因12120xxyy，1212xxyy，22121224yyyyp，12120,0xxyy，2124yyp，2222121212121211()(2)2444xxyyxyyyyyyppp221(2)ypp，所以圆心的轨迹方程为222ypxp，设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则22221|(2)2||2||22|555ypyxyypyppdp22|()|5yppp，当y=p时,d有最小值5p,由题设得2555p，2p.解法2:设圆C的圆心为C(x,y),则121222xxxyyy2211222,2(0)ypxypxp，22121224yyxxp，又因12120xxyy，1212xxyy，22121224yyyyp，12120,0xxyy，2124yyp，2222121212121211()(2)2444xxyyxyyyyyyppp221(2)ypp，所以圆心的轨迹方程为222ypxp，设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为255,则2m，因为x-2y+2=0与222ypxp无公共点,所以当x-2y-2=0与222ypxp仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为25522220(2)2(3)xyypxp将(2)代入(3)得222220ypypp，2244(22)0ppp，02.pp解法3:设圆C的圆心为C(x,y),则121222xxxyyy圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则1212|()|25xxyyd2211222,2(0)ypxypxp，22121224yyxxp，又因12120xxyy，1212xxyy，22121224yyyyp，12120,0xxyy，2124yyp，2212122221212121|()()||24()8|4545yyyyyyyypyyppdp2212(2)445yyppp，当122yyp时,d有最小值5p,由题设得2555p，2p.16、已知椭圆C1:22143xy,抛物线C2:2()2(0)ympxp,且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.(1)当AB⊥x轴时,求m、p的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；(2)是否存在m、p的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的m、p的值；若不存在，请说明理由.解：（1）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为x=1，从而点A的坐标为（1，23）或（1，－23）.因为点A在抛物线上，所以p249，即89p.此时C2的焦点坐标为（169，0），该焦点不在直线AB上.（2）解法一当C2的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为)1(xky.由134)1(22yxxky消去y得01248)43(2222kxkxk.……①设A、B的坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2）,则x1,x2是方程①的两根，x1＋x2＝22438kk.因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是过C2的焦点的弦，所以)(214)212()212(2121xxxxAB，且1212()()22ppABxxxxp.从而121214()2xxpxx.所以12463pxx，即22846343kpk.解得6,62kk即.因为C2的焦点),32(mF在直线)1(xky上，所以km31.即3636mm或.当36m时，直线AB的方程为)1(6xy；当36m时，直线AB的方程为)1(6xy.解法二当C2的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为)1(xky.由)1(38)(2xkyxmy消去y得xmkkx38)(2.……①因为C2的焦点),32(mF在