广义变分原理课程论文

1/6《广义变分原理》课程报告题目：变分原理与数值计算方法年级：2013级工程力学姓名：顾鑫学号：130810040001时间：2014年5月6日2/6变分原理与数值计算方法河海大学2013级工程力学摘要：本文从变分法的发展出发，阐释泛函理论中变分原理的定义，说明了由一般微分方程构造泛函的方法；具体分析了弹塑性理论中的各种变分原理，说明由变分原理建立有限元模型的方法；最后，详细阐释了以变分原理为基础的数值方法的建立与改进方法。关键词：变分法、变分原理、泛函、弹塑性、有限元、数值方法的改进1.变分法及变分原理1.1.变分法1687年，Newton在《自然哲学的数学原理》中提出第一个变分问题——定轴转动阻力最小的旋转曲面形状问题；1696年，Bernoulli提出了著名的最速降线问题；到18世纪，经过Euler，Lagrange等人的努力，逐渐形成变分法。古典变分法的基本内容是确定泛函的极值和极值点，它为许多数学、物理、科技、工程问题提供了强有力地数学工具。现代理论证明，微分方程（组）中的变分法是把微分方程（组）化归为其对应泛函的临界点（即化为变分问题），以证明其解的存在性及解的个数。讨论对应泛函临界点的存在性及其个数的基本方法是Morse理论与极小极大理论（MinimaxTheory）。变分法有着深刻的物理背景，某种意义上，自然界一切物质运动均可以用某种形式的数理方程表示，一般数理方程又与一定的泛函相对应，所以一切物质运动规律都遵从“变分原理”1.2.变分原理泛函中定义的变分原理：设A为Hilbert空间H0上的自伴正算子(对称的正算子)，考虑H0上的非线性泛函𝐽(𝑢)≜𝐴𝑢,𝑢−2𝑢,𝑓⑴若u0为J在H0上的最小值函数，则u0在Ω上满足𝐴𝑢0=𝑓，反之亦然。该定理给出了由已知满足一定条件的算子，如何构造相关泛函的一般方法，如：（1）弹性力学最小势能原理可由该抽象变分原理推出；（2）经典力学中的哈密顿（Hamilton）原理，在泛函定义的变分原理中，若有自伴正算子A为二阶偏导算子，H0为具有二阶连续导数的闭区域，且边界条件确定，此时J即为能量泛函，求泛函的的极小值问题即为Hamilton原理。进而，在固体力学中，设考察的物体存在泛函Π(𝑢𝑖)=∭𝐹(𝑢𝑖,𝑢𝑖,𝑗,…)𝑑𝛺Ω+∬𝐸(𝑢𝑖,𝑢𝑖,𝑗,…)𝑑𝑠𝑆⑵式中，𝑢𝑖是位置函数，F和E分别为给定的微分算子；若由Π(𝑢𝑖)的驻值条件δΠ=0能求得该连续体问题的解，则定义描述和求解该问题的定理统称为变分原理。在连续介质理论中，具体即为物体存在某个泛函，使得对应的运动方程是它的Euler方程，求这些Euler方程的解便化归为求对应泛函的临界点问题。泛函本身与变分后的方程之间不存在一一对应关系，在弹性力学中，任一变分原理都可以建立相应的Euler方程，反之不然，即不需要变分约束条件而能导出全部方程和条件的泛函是很多的。不论是连续介质力学中，还是在热传导、电磁学等其他理论中，该方法均很常见，对许多问题可方便的得到方程正确解。同时，变分原理以某种积分加权平均形式去近似微分关系式，将强形式的微分方程转换为弱形式的积分方程；通过对基本微分方程取逼近方程，或对3/6边界方程采用某种范围内的放松，为原连续体问题提供一个近似解，如：李兹法。2.弹塑性力学中的变分原理基于变分原理，学者们建立了弹塑性力学领域内的具体变分原理，不同的弹塑性力学的具体领域，其变分原理又具有不同之处。具体可大致分为：小位移弹塑性变分原理、有限位移弹塑性变分原理、弹性动力学变分原理、弹性体自由振动的变分原理、温度场热弹性体变分原理等。首先，说明小位移小变形弹塑性变分原理，它可分为变分原理{无条件、有约束的自然变分原理{最小势能原理：一类变量(u)，约束：几何方程和物理方程最小余能原理：一类变量(σ)，约束：平衡方程和应力边界有条件、有约束的不完全广义变分原理(修正的自然变分原理)：引入可以识别物理意义的Lagrange乘子有条件、无约束的广义变分原理{广义位能原理(Hu−Washizu变分原理)：三类变量(u,σ,ε)，解除几何方程和物理方程广义余能原理：二类变量（u,σ），解除几何方程和物理方程Hellinger−Reissner混合变分原理：二类变量(u,σ)，解除平衡方程和应力边界自然变分原理是指无条件的泛函驻值问题，自变函数仅需使泛函有意义和满足一部分约束条件，反之则为有条件的。有约束是指自变函数满足的部分边界条件，而该边界约束条件不通过引入lagrange乘子，实现放松。通过引入可以识别物理意义的lagrange乘子，放松约束条件，得到修正的完全（不完全）广义变分原理。比较自然变分原理与广义变分原理，就求精确解而言，两者是等同的；而在近似解时，广义变分原理的变分近似计算精度一般比自然变分原理的变分近似要差（这是因为前者放宽了选择近似函数的条件），但自然变分原理碍于连续条件的约束，在复杂边界问题中遇到困难，而广义变分原理则能大显身手，这使得广义变分原理日益受到人们的重视。其他弹塑性具体领域的变分原理，只需在此基础上进行修正即可得到。有限位移弹塑性问题中，对采用Lagrange坐标系的微分描述进行变分处理即可。弹性动力学中，在静力变分原理的基础上引入动能项，则对保守力系得到经典Hamilton变分原理，另外对于非保守力系，可以用和Hamilton原理等价的Lagrange动力学方程求解，即为非传统Hamilton变分原理。弹性体自由振动问题，只需引入自振动能项。在热弹性力学中，稳定场问题只需用自由能密度取代应变能密度即可；在非稳定场问题中，宜用Hamilton原理进行分析。3.变分原理与数值计算方法变分原理是研究力学理论和应用的强有力工具，变分原理是许多数值方法的基础，对所研究的问题建立相应泛函，并通过不同的措施对泛函本身及泛函变量进行处理，从而得到不同的数值方法。3.1.变分原理的直接方法——Rayleih-Ritz方法Rayleih-Ritz是变分原理的直接方法，在弹性力学、有限元分析和振动分析中非常重要，也称为“变分过程”。通过构造级数形式的插值近似解代替未知函数进行求解。其具体过程为：设式（2）中的试函数u可展开成级数形式u=∑𝑁𝑖𝑎𝑖𝑛1则泛函驻值由下式确定∂Π∂a𝑖=0,𝑖=1,2,3,….从以上方程中可以求出a𝑖，由于泛函Π是在整个域内和边界上以积分的形式给出的，解法的4/6精度取决于选定的位移函数接近于实际状况的程度。3.2.变分原理及其对应的有限元模型如果一个问题能够给出相应的变分原理，则可通过离散的方法得到连续体的泛函近似，则意味着立即能建立起适合于进行有限元标准分析的积分形式，从而得到近似解，此过程即为一般采用的Galerkin有限元方法。当存在相应的泛函时，Galerkin法与变分法往往导致同样的结果。自然变分原理的泛函具有明确的物理意义，能够自然的构造有限元分析结构；其他修正的广义变分原理，则需要通过解除不同的约束条件和满足不同的约束条件，并考虑泛函宗量的选取，以使泛函具有明确的物理意义，从而得到不同的有限元模型。以下列出了一些变分原理及其相应的有限元模型。表一：变分原理及其对应的有限元模型变分原理/泛函有限元模型单元内部平衡边界平衡单元内部位移协调边界位移协调单元边界面力连续单元边界位移连续单元间反力互等最小势能原理位移协调模型××√√最小余能原理平衡模型Ι√√××修正余能原理（即最小余能原理放松交界面反力互等条件）平衡模型ΙΙ（满足单元内边界面力连续）√√××√××杂交模型（满足单元内边界位移连续）√√√√×√×修正余能原理，并放松单元面力连续要求，代之以边界上位移连续条件杂交应力模型√××√×√×修正势能原理（即最小势能原理放松单元间位移协调条件及已知位移边界条件）杂交位移模型Ι×√√×√×√杂交位移模型ΙΙ××√√×××修正的Hellinger-Reissner混合变分原理（即Hellinger-Reissner混合杂交混合模型××√√\√\5/6变分原理中，考虑位移边界条件和单元间位移连续是满足的）3.3.变分原理与其他数值方法3.3.1.无单元法(EFGM)、无网格法由于有限元法的局限性（如：计算结果不连续和难于计算结构开裂问题等），为取得更好的模拟计算效果，研究者提出许多其他计算方法。无单元法（EFGM）在构造近似函数的过程中无需结点间的联接信息，摆脱了有限元中单元的限制，可以根据需要任意布置节点，从而摆脱了网格的束缚，在裂纹扩展、大变形和移动相边界等涉及网格重构的问题上具有优势，对于一般的复杂边界问题也可有效地节约前处理中网格划分的工作量。基于移动最小二乘近似的无单元法具体过程为：根据具体问题的平衡方程，利用变分原理得到无单元法整体平衡方程，利用最小二乘拟合方法将场函数表示成节点未知量和形函数的关系式，这样场函数对坐标的导数就可以表示成形函数对坐标的偏导数，积分式采用高斯积分法计算；（2）在整个区域布置节点，并划分积分子域，根据节点疏密确定影响半径；（3）在所有高斯点上循环集成整体平衡方程组，求解方程组。大多数无网格方法其近似函数不具有插值性，因而准确施加本质边界条件困难，自然单元法构造的近似函数在边界上具有先行插值性（自然邻近插值），可方便准确施加本质边界条件。3.3.2.变分差分法变分差分法是在吸取了有限差分法和有限单元法的优点基础上发展起来的一种新的结构分析方法，此法基于变分原理和有限差分法，利用泰勒级数展开求得偏导数的有限差分近似公式，变分泛函式中的未知函数的导数用差商公式来近似，由泛函的驻值条件可导得一组代数方程组，其系数矩阵是对称正定的。变分差分法保持了传统有限差分法节点自由度少，计算机时少喝存储量小的优点；同时，由于采用了变分原理，变分差分法与传统差分法相比，具有如下三个优势：（1）自然边界条件自动满足，简化了边界条件的处理；（2）系数矩阵对称正定，方程性态好，易于求解动力问题；（3）未知函数在变分泛函中的导数阶数低于微分方程的导数阶数，易于构造差分格式和处理边界条件。4.小结变分原理是研究力学、物理学和其他各种技术科学的强有力地工具，在理论上和实用上都有重要的价值。本文从变分法的发展出发，阐释泛函理论中变分原理的定义，说明由一般微分方程构造泛函的方法；具体分析了弹塑性理论中的各种变分原理，说明如何由变分原理建立有限元模型；最后，详细阐释了以变分原理为基础的数值方法的建立与改进方法。6/6参考文献[1]卓家寿.弹塑性力学中的广义变分原理[M].北京：中国水利水电出版社，2002[2]有限元方法(第五版)第一卷基本原理/（英）监凯维奇（Zienkiewicz,O.C.），（美）泰勒（Taylor,R.L.）著；曾攀等译—5版[M].北京：清华大学出版社，2008.7[3]门少平、封建湖.应用泛函分析.[M].北京：科学出版社，2005[4]贾小勇.19世纪以前的变分法[D].西北大学,2008.[5]章国庆.变分法及其在非线性微分差分方程(组)中的应用[D].西安电子科技大学,2005.[6]徐硕昌.关于力学变分原理及应用的几点注记.[J].重庆建筑大学学报.2000(12):78-83[7]陈敏.变分问题中直接法在力学中应用.[J].金陵科技学院学报.2006(6):5-8[8]白森林.求泛函极值方法在力学中的应用.[J].山东师大学报（自然科学版）.1995,12(10):453-457[9]赵建中.广义变分原理中泛函的量值与形式.[J].云南大学学报.1986（6）：247-251[10]罗恩、梁立孚、李纬华.分析力学的非传统Hamilton型变分原理.[J].中国科学G辑物理学力学天文学.2006,36(6):633-643[11]邓思华,傅作新.拱坝应力分析的变分差分法[J].河海大学学报(自然科学版),1993,3:000.[12]陈小虎,沈振中.无单元法的工程应用进展[J].水利水电科技进展,2007,26(6):90-94.[13]江涛,章青.