复合函数知识总结及例题

1复合函数问题一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若AB，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.二、复合函数定义域问题：(1)、已知fx()的定义域，求fgx()的定义域思路：设函数fx()的定义域为D，即xD，所以f的作用范围为D，又f对gx()作用，作用范围不变，所以Dxg)(，解得xE，E为fgx()的定义域。例1.设函数fu()的定义域为（0，1），则函数fx(ln)的定义域为_____________。解析：函数fu()的定义域为（0，1）即u()01，，所以f的作用范围为（0，1）又f对lnx作用，作用范围不变，所以01lnx解得xe()1，，故函数fx(ln)的定义域为（1，e）例2.若函数fxx()11，则函数ffx()的定义域为______________。解析：先求f的作用范围，由fxx()11，知x1即f的作用范围为xRx|1，又f对f(x)作用所以fxRfx()()且1，即ffx()中x应满足xfx11()即xx1111，解得xx12且故函数ffx()的定义域为xRxx|12且（2）、已知fgx()的定义域，求fx()的定义域思路：设fgx()的定义域为D，即xD，由此得gxE()，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以xEE，为fx()的定义域。例3.已知fx()32的定义域为x12，，则函数fx()的定义域为_________。解析：fx()32的定义域为12，，即x12，，由此得3215x，所以f的作用范围为15，，又f对x作用，作用范围不变，所以x15，2即函数fx()的定义域为15，例4.已知fxxx()lg22248，则函数fx()的定义域为-------解析：先求f的作用范围，由fxxx()lg22248，知xx2280解得x244，f的作用范围为()4，，又f对x作用，作用范围不变，所以x()4，，即fx()的定义域为()4，（3）、已知fgx()的定义域，求fhx()的定义域思路：设fgx()的定义域为D，即xD，由此得gxE()，f的作用范围为E，又f对hx()作用，作用范围不变，所以hxE()，解得xF，F为fhx()的定义域。例5.若函数fx()2的定义域为11，，则fx(log)2的定义域为____________。解析：fx()2的定义域为11，，即x11，，由此得2122x，f的作用范围为122，，又f对log2x作用，所以log2122x，，解得x24，即fx(log)2的定义域为24，评注：函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围，f的作用对象可以变，但f的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。三、复合函数单调性问题（1）引理证明已知函数))((xgfy.若)(xgu在区间ba,(）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数)(ufy在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((xgfy在区间ba,(）上是增函数.证明：在区间ba,(）内任取两个数21,xx，使bxxa21因为)(xgu在区间ba,(）上是减函数，所以)()(21xgxg,记)(11xgu,)(22xgu即),(,21,21dcuuuu且3因为函数)(ufy在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21ufuf,即))(())((21xgfxgf，故函数))((xgfy在区间ba,(）上是增函数.（2）．复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：)(ufy增↗减↘)(xgu增↗减↘增↗减↘))((xgfy增↗减↘减↘增↗以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.（3）、复合函数))((xgfy的单调性判断步骤：ⅰ确定函数的定义域；ⅱ将复合函数分解成两个简单函数：)(ufy与)(xgu。ⅲ分别确定分解成的两个函数的单调性；ⅳ若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数))((xgfy为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数))((xgfy为减函数。（4）例题演练例1、求函数)32(log221xxy的单调区间，并用单调定义给予证明奎屯王新敞新疆解：定义域130322xxxx或单调减区间是),3(设2121),3(,xxxx且则)32(log121211xxy)32(log222212xxy)32(121xx)32(222xx=)2)((1212xxxx∵312xx∴012xx0212xx4∴)32(121xx)32(222xx又底数1210∴012yy即12yy∴y在),3(上是减函数奎屯王新敞新疆同理可证：y在)1,(上是增函数奎屯王新敞新疆［例］2、讨论函数)123(log)(2xxxfa的单调性.［解］由01232xx得函数的定义域为}.31,1|{xxx或则当1a时，若1x，∵1232xxu为增函数，∴)123(log)(2xxxfa为增函数.若31x，∵1232xxu为减函数.∴)123(log)(2xxxfa为减函数。当10a时，若1x，则)123(log)(2xxxfa为减函数，若31x，则)123(log)(2xxxfa为增函数.例3、.已知y=alog(2-xa)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.解：∵a＞0且a≠1当a＞1时，函数t=2-xa0是减函数由y=alog(2-xa)在［0，1］上x的减函数，知y=alogt是增函数，∴a＞1由x［0，1］时，2-xa2-a＞0,得a＜2,∴1＜a＜2当0a1时，函数t=2-xa0是增函数奎屯王新敞新疆由y=alog(2-xa)在［0，1］上x的减函数，知y=alogt是减函数，∴0a1奎屯王新敞新疆由x［0，1］时，2-xa2-1＞0,∴0a1综上述，0a1或1＜a＜2奎屯王新敞新疆例4、已知函数2)3()2(2axaaxxf（a为负整数）的图象经过点Rmm),0,2(，设)()()()],([)(xfxpgxFxffxg.问是否存在实数)0(pp使得)(xF在区间)]2(,(f上是减函数，且在区间)0),2((f上是减函数？并证明你的结论。［解析］由已知0)2(mf，得02)3(2amaam，5其中.0,aRm∴0即09232aa，解得.37213721a∵a为负整数，∴.1a∴1)2(34)2(2xxxxf，即.1)(2xxf242221)1()]([)(xxxxffxg，∴.1)12()()()(24xppxxfxpgxF假设存在实数)0(pp，使得)(xF满足条件，设21xx，∴].12)()[()()(2221222121pxxpxxxFxF∵3)2(f，当)3,(,21xx时，)(xF为减函数，∴0)()(21xFxF，∴.012)(,022212221pxxpxx∵3,321xx,∴182221xx,∴11612)(2221ppxxp,∴.0116p①当)0,3(,21xx时,)(xF增函数,∴.0)()(21xFxF∵02221xx,∴11612)(2221ppxxp,∴0116p.②由①、②可知161p，故存在.161p一．指数函数与对数函数．同底的指数函数xya与对数函数logayx互为反函数；（二）主要方法：1．解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；2．指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论；3．比较几个数的大小的常用方法有：①以0和1为桥梁；②利用函数的单调性；③作差．（三）例题分析：例1．（1）若21aba，则logbba，logba，logab从小到大依次为；（2）若235xyz，且x，y，z都是正数，则2x，3y，5z从小到大依次为；（3）设0x，且1xxab（0a，0b），则a与b的大小关系是（）（A）1ba（B）1ab（C）1ba（D）1ab解：（1）由21aba得baa，故logbbalogba1logab．6（2）令235xyzt，则1t，lglg2tx，lglg3ty，lglg5tz，∴2lg3lglg(lg9lg8)230lg2lg3lg2lg3tttxy，∴23xy；同理可得：250xz，∴25xz，∴325yxz．（3）取1x，知选（B）．例2．已知函数2()1xxfxax(1)a，求证：（1）函数()fx在(1,)上为增函数；（2）方程()0fx没有负数根．证明：（1）设121xx，则1212121222()()11xxxxfxfxaaxx121212121212223()11(1)(1)xxxxxxxxaaaaxxxx，∵121xx，∴110x，210x，120xx，∴12123()0(1)(1)xxxx；∵121xx，且1a，∴12xxaa，∴120xxaa，∴12()()0fxfx，即12()()fxfx，∴函数()fx在(1,)上为增函数；（2）假设0x是方程()0fx的负数根，且01x，则000201xxax，即00000023(1)31111xxxaxxx，①当010x时，0011x，∴0331x，∴03121x，而由1a知01xa，∴①式不成立；当01x时，010x，∴0301x，∴03111x，而00xa，∴①式不成立．综上所述，方程()0fx没有负数根．例3．已知函数()log(1)xafxa（0a且1a）．求证：（1）函数()fx的图象在y轴的一侧；（2）函数()fx图象上任意两点连线的斜率都大于0．证明：（1）由10xa得：1xa，∴当1a时，0x，即函数()fx的定义域为(0,)，此时函数()fx的图象在y轴的右侧；当01a时，0x，即函数()fx的定义域为(,0)，此时函数()fx的图象在y轴的左侧．∴函数()fx的图象在y轴的一侧；（2）设11(,)Axy、22(,)Bxy是函数()fx图象上任意两点，且12xx，则直线AB的斜率1212yykxx，71122121log(1)log(1)log1xxxaaaxayyaaa，当1a时，由（1）知120xx，∴121xxaa，∴12011xxaa，∴121011xxaa，∴120yy，又120xx，∴0k；当01a时，由（1）知120xx，∴121xxaa，∴12110xxaa，∴12111xxaa，∴120yy，又120xx，∴0k．∴函数()fx图象上任意两点连线的斜率都大于0．8