平面向量的数量积第二课时教案

教案：平面向量的数量积第二课时教学目的：1奎屯王新敞新疆掌握平面向量数量积运算规律；2奎屯王新敞新疆能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3奎屯王新敞新疆掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题奎屯王新敞新疆教学重点：平面向量数量积及运算规律奎屯王新敞新疆教学难点：平面向量数量积的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质奎屯王新敞新疆教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b，作OA＝a，OB＝b，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角奎屯王新敞新疆2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫a与b的数量积，记作ab，即有ab=|a||b|cos，（０≤θ≤π）奎屯王新敞新疆并规定0与任何向量的数量积为0奎屯王新敞新疆3．“投影”的概念：作图定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影奎屯王新敞新疆投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为C负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为|b|；当=180时投影为|b|奎屯王新敞新疆4．向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积奎屯王新敞新疆5．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量奎屯王新敞新疆1ea=ae=|a|cos；2abab=03当a与b同向时，ab=|a||b|；当a与b反向时，ab=|a||b|奎屯王新敞新疆特别的aa=|a|2或||aaa4cos=||||abab；5|ab|≤|a||b|6．判断下列各题正确与否：1若a=0，则对任一向量b，有ab=0奎屯王新敞新疆(√)2若a0，则对任一非零向量b，有ab0奎屯王新敞新疆(×)3若a0，ab=0，则b=0奎屯王新敞新疆(×)4若ab=0，则a、b至少有一个为零奎屯王新敞新疆(×)5若a0，ab=ac，则b=c奎屯王新敞新疆(×)6若ab=ac，则b=c当且仅当a0时成立奎屯王新敞新疆(×)7对任意向量a、b、c，有(ab)ca(bc)奎屯王新敞新疆(×)8对任意向量a，有a2=|a|2奎屯王新敞新疆(√)二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1．交换律：ab=ba证：设a，b夹角为，则ab=|a||b|cos，ba=|b||a|cos∴ab=ba2．数乘结合律：(a)b=(ab)=a(b)证：若0，(a)b=|a||b|cos，(ab)=|a||b|cos，a(b)=|a||b|cos，若0，(a)b=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos，(ab)=|a||b|cos，a(b)=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos奎屯王新敞新疆3．分配律：(a+b)c=ac+bc在平面内取一点O，作OA=a,AB=b，OC=c，∵a+b（即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即|a+b|cos=|a|cos1+|b|cos2∴|c||a+b|cos=|c||a|cos1+|c||b|cos2∴c(a+b)=ca+cb即：(a+b)c=ac+bc说明：（1）一般地，(a·b)c≠a（b·c）（2）a·c＝b·c，c≠0a＝b（3）有如下常用性质：a２＝｜a｜２，（a＋b）（c＋d）＝a·c＋a·d＋b·c＋b·d(a＋b)２＝a２＋２a·b＋b２三、讲解范例：例1已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角奎屯王新敞新疆解：由(a+3b)(7a5b)=07a2+16ab15b2=0①(a4b)(7a2b)=07a230ab+8b2=0②两式相减：2ab=b2代入①或②得：a2=b2设a、b的夹角为，则cos=2212||||2||abbabb∴=60例2求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和奎屯王新敞新疆解：如图：ABCD中，ABDC，ADBC，AC=ABAD∴|AC|2=222||2ABADABADABAD而BD=ABAD∴|BD|2=222||2ABADABADABAD∴|AC|2+|BD|2=2222ABAD=2222||||||||ABBCDCAD例3四边形ABCD中，AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形ABCD是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量奎屯王新敞新疆解：四边形ABCD是矩形，这是因为：一方面：∵a＋b＋c＋d＝0，∴a＋b＝－（c＋d），∴(a＋b)２＝（c＋d）２即｜a｜２＋２a·b＋｜b｜２＝｜c｜２＋２c·d＋｜d｜２由于a·b＝c·d，∴｜a｜２＋｜b｜２＝｜c｜２＋｜d｜２①同理有｜a｜２＋｜d｜２＝｜c｜２＋｜b｜２②由①②可得｜a｜＝｜c｜，且｜b｜＝｜d｜即四边形ABCD两组对边分别相等奎屯王新敞新疆∴四边形ABCD是平行四边形另一方面，由a·b＝b·c，有b（a－c）＝０，而由平行四边形ABCD可得a＝－c，代入上式得b·(2a)＝０即a·b＝０，∴a⊥b也即AB⊥BC奎屯王新敞新疆综上所述，四边形ABCD是矩形奎屯王新敞新疆评述：(1)在四边形中，AB，BC，CD，DA是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即a＋b＋c＋d＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系奎屯王新敞新疆四、课堂练习：1奎屯王新敞新疆下列叙述不正确的是（）A奎屯王新敞新疆B奎屯王新敞新疆C奎屯王新敞新疆D奎屯王新敞新疆a·b是一个实数2奎屯王新敞新疆已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为６０°，则(a+2b)·(a-3b)等于（）A奎屯王新敞新疆72B奎屯王新敞新疆-72C奎屯王新敞新疆36D奎屯王新敞新疆-363奎屯王新敞新疆|a|=3,|b|=4,向量a+43b与a-43b的位置关系为（）A奎屯王新敞新疆平行B奎屯王新敞新疆C奎屯王新敞新疆夹角为3D奎屯王新敞新疆不平行也不垂直4奎屯王新敞新疆已知|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角为150°，则(a+b)２＝奎屯王新敞新疆5奎屯王新敞新疆已知|a|=2,|b|=5,a·b=-3,则|a+b|=______,|a-b|=奎屯王新敞新疆6奎屯王新敞新疆设|a|=3,|b|=5,且a+λb与a－λb垂直，则λ＝奎屯王新敞新疆参考答案：1奎屯王新敞新疆C2奎屯王新敞新疆B3奎屯王新敞新疆B4奎屯王新敞新疆２５奎屯王新敞新疆－１+235奎屯王新敞新疆35236奎屯王新敞新疆±53五、小结通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题奎屯王新敞新疆六、课后作业1奎屯王新敞新疆已知|a|=1,|b|=2,且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（）A奎屯王新敞新疆60°B奎屯王新敞新疆30°C奎屯王新敞新疆135°D奎屯王新敞新疆４５°2奎屯王新敞新疆已知|a|=2,|b|=1,a与b之间的夹角为3，那么向量m＝a-4b的模为（）A奎屯王新敞新疆2B奎屯王新敞新疆23C奎屯王新敞新疆6D奎屯王新敞新疆123奎屯王新敞新疆已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的（）A奎屯王新敞新疆充分但不必要条件B奎屯王新敞新疆C奎屯王新敞新疆充要条件D奎屯王新敞新疆既不充分也不必要条件4奎屯王新敞新疆已知向量a、b的夹角为3，|a|=2,|b|=1,则|a+b|·|a-b|=奎屯王新敞新疆5奎屯王新敞新疆已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么a·b=奎屯王新敞新疆6奎屯王新敞新疆已知a⊥b、c与a、b的夹角均为60°，且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2b-c)２＝______奎屯王新敞新疆7奎屯王新敞新疆已知|a|=1,|b|=2,(1)若a∥b,求a·b;(2)若a、b的夹角为６０°，求|a+b|(3)若a-b与a垂直，求a与b的夹角奎屯王新敞新疆8奎屯王新敞新疆设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角奎屯王新敞新疆9奎屯王新敞新疆对于两个非零向量a、b，求使|a+tb|最小时的t值，并求此时b与a+tb的夹角奎屯王新敞新疆参考答案：1奎屯王新敞新疆D2奎屯王新敞新疆B3奎屯王新敞新疆C4奎屯王新敞新疆215奎屯王新敞新疆–636奎屯王新敞新疆117奎屯王新敞新疆(1)-2(2)23(3)458奎屯王新敞新疆120°9奎屯王新敞新疆90七、板书设计（略）八、课后记及备用资料：1奎屯王新敞新疆常用数量积运算公式：在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛奎屯王新敞新疆即(a＋b)２＝a２＋２a·b＋b２，（a－b）２＝a２－２a·b＋b２上述两公式以及(a＋b)(a－b)＝a２－b２这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用奎屯王新敞新疆2奎屯王新敞新疆应用举例例1已知｜a｜＝２，｜b｜＝５，a·b＝－３，求｜a＋b｜，｜a－b｜奎屯王新敞新疆解：∵｜a＋b｜２＝（a＋b）２＝a２＋２a·b＋b２＝２２＋２×（－３）＋５２＝２３∴｜a＋b｜＝23，∵（｜a－b｜）２＝（a－b）２＝a２－2a·b＋b２＝2２－2×（－3）×５２＝35，∴｜a－b｜＝35．例2已知｜a｜＝8，｜b｜＝10，｜a＋b｜＝16，求a与b的夹角θ(精确到１°)奎屯王新敞新疆解：∵（｜a＋b｜）２＝（a＋b）２＝a２＋2a·b＋b２＝｜a｜２＋2｜a｜·｜b｜ｃｏｓθ＋｜b｜２∴１６２＝８２＋２×８×１０ｃｏｓθ＋１０２，∴ｃｏｓθ＝4023，∴θ≈５５°