曲线的参数方程和与普通方程的互化

第二讲参数方程一、曲线的参数方程1、参数方程的概念（1）在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即叫做曲线的参数方程，t为参数。)()(tgytfx（2）相对于参数方程来说，直接给出点的坐标关系的方程叫做曲线的普通方程。212331(211(01),5,426)xtCtytMMCM例、已知曲线的参数方程是为参数）（）判断点，（）与曲线的位置关系；（）已知点（，a在曲线上，求a的值。2、圆的参数方程探求：圆的参数方程∵点P在∠P0OP的终边上,如图,设⊙O的圆心在原点,半径是r.与x轴正半轴的交点为P0,圆上任取一点P,若OP0按逆时针方向旋转到OP位置所形成的角∠P0OP=θ,求P点的坐标。根据三角函数的定义得sin,cos.yxrrcos,sin.xryr(cos,sin).Prr解:设P（x,y）,(1)我们把方程组(1)叫做圆心为原点、半径为r的圆的参数方程。其中参数θ表示OP0到OP所成旋转角，。02圆心为(a,b)、半径为r的圆的参数方程为x=a+rcosθy=b+rsinθ(θ为参数)1.写出下列圆的参数方程:(1)圆心在原点,半径为:______________;3(2)圆心为(-2,-3),半径为1:______________.3x=cosθy=sinθ3x=-2+cosθy=-3+sinθ2.若圆的参数方程为,则其标准方程为:_________________.x=5cosθ+1y=5sinθ-1(x-1)2+(y+1)2=253.已知圆的方程是x2+y2-2x+6y+6=0,则它的参数方程为_______________.x=1+2cosθy=-3+2sinθ3、参数方程和普通方程的互化（1）参数方程通过消元（代入消元、加减消元、利用三角恒等式消元等）消去参数化为普通方程。如：①参数方程.sin,cosrbyrax消去参数可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2..42,tytx②参数方程（t为参数）可得普通方程y=2x-4通过代入消元法消去参数t,（x≥0）。注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.例3、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？1()12tytx=t(1)为参数(2)参数方程x＝3t＋2，y＝t－1(t为参数)sincos().1sin2yx=(3)为参数例、将下列参数方程化为普通方程：sin3cos32yx(1)2cossinyx(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2（1）（x-2）2+y2=9（2）y=1-2x2（-1≤x≤1）（3）x2-y=2（X≥2或x≤-2）步骤：（1）消参；（2）注意取值范围。（2）普通方程化为参数方程需要引入参数。如：①直线L的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程②在普通方程x2+y2=1中，令x=cos,可以化为参数方程.22,tytx（t为参数）cos,sin.xy（为参数）例4(1)设x=3cos，为参数；2.tt(2)设y=，为参数22194xy求椭圆的参数方程。3cos2sin解：（1）参数方程是为参数。xy223131222－（）参数方程是和xtxtytyt21)5()(21)(21)4(sinsin)3()2(2111.122yttxeeyeextytxtytxtytxtttt）（方程化下列参数方程为普通练习x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，2tytx代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.2224sinABCDsinxtxtxtxtytytytyt、、、、2、曲线y=x2的一种参数方程是（）.注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.在y=x2中，x∈R,y≥0，分析:发生了变化，因而与y=x2不等价；在A、B、C中，x,y的范围都而在Ｄ中，且以D普通方程参数方程引入参数消去参数小结曲线的参数方程；1、2、曲线的参数方程与普通方程的互化：圆的参数方程；3、x=a+rcosθy=b+rsinθ(θ为参数)第二讲参数方程二、圆锥曲线的参数方程圆的参数方程sincosryrxx2+y2=r2（为参数）222)()(rbyaxsincosrbyrax（为参数）14cos1(24sinxttyt指出下列参数方程表示什么曲线：（）为参数）5cos(3sinxttyt（2）为参数）13cos(3)(25sinxy为参数）,1bya2222xsinbycosax,1ayb2222xsinaycosbxsinbycosa),(0000yxxyxC参数方程是的椭圆的中心在椭圆的参数方程：x轴：y轴：圆的参数方程x=a+rcosθy=b+rsinθ(θ为参数)应用：(1)参数方程可以用来求轨迹问题.(2)参数方程可以用来求最值.椭圆的参数方程：sinbycosax（为参数）例1如图,已知点P是圆O:x2+y2=4上的一个动点,点A(6,0).当点P在圆上运动时,求线段PA中点M的轨迹方程，并说明点M的轨迹图形是什么？解：则圆的参数方程为：取,xOP为参数）(.sin2,cos2yx由中点公式可得：）为（的坐标则点的坐标为（设点,sin2,cos2),,PyxMsin2sin2,3cos26cos2yx所以，点M的轨迹的参数方程是为参数）（.sin,3cosyx注意：轨迹是指点运动所成的图形；轨迹方程是指表示动点所成图形所满足的代数等式。它表示（3,0）为圆心，1为半径的圆变式P是椭圆:上的一个动点,点B(6,2).当点P在椭圆上运动时,求线段PB中点M的轨迹参数方程，解：椭圆的参数方程为：为参数）(.sin2,cos4yx由中点公式可得：）为（的坐标则点的坐标为（设点,sin2,cos4),,PyxM1sin22sin2,3cos226cos4yx所以，点M的轨迹的参数方程是为参数）（.1sin,3cos2yx它所表示的图形是以（3,1）为中心的椭圆。221164xy例2说明：本例说明了圆的参数方程在求最值时的应用；sin23cos21sin23cos21(.sin23,cos214)3()103222222yxPyxyxyxyx），（则为参数）其参数方程为（可化为解：圆)4sin(2213已知点P(x,y)是圆上的一个动点,求:x+y的最小值。032222yxyx2213)(1)4sin(minyx时，当22194xy变式：M是椭圆上一点，求M到直线x+2y-10=0的最小距离。双曲线的参数方程sec()tanxayb为参数2a222xy-=1(a0,b0)的参数方程为：b双曲线的参数方程可以由方程与三角恒等式22221xyab22sec1tan相比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换.说明：抛物线的参数方程oyxHM(x，y)2抛物线y=2px(p0)的参数方程为:1其中参数t=(0),当=0时，t=0.tan几何意义为：,().ttRy2x=2pt为参数，2pt抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。.x即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t=y