有限元分析与应用习题课

有限元分析与应用----------习题课21.线弹性力学静力问题有限元法计算列式的推导是如何采用弹性力学问题基本方程？答：(1)假设单元的位移场模式eNδf(2)代入到几何方程，得eBδε(3)代入到物理方程，得eDBδσ(4)代入到虚功方程或最小势能原理，得到单元刚度方程eeKδF(5)叠加到总刚阵，得到结构的平衡方程KδF(6)引入位移边界条件后，K非奇异，解上式得结点位移。32.图示弹性力学平面问题，采用三角形常应变元，网格划分如图，试求：(1)计算在你的结点编号下的系统刚度矩阵的半带宽；(2)根据图中结构的边界约束状态，指出那些结点自由度的位移已知并且为何值。题2图p87625431912354678910解：101d2B4d)(,041uu041vv43.弹性力学有限元中，平面等参数单元中的“等参数”概念是何意思？该单元在跨相邻单元时，位移场连续吗？应力场连续吗？答：在单元中，位移描述的形函数和单元形状描述的形函数是相同的，参数个数相等，称为等参数元。相邻等参元之间，位移是连续的，应力场不连续。54.回答下列问题：(1)弹性力学平面问题4节点等参元，其单元自由度是多少？单元刚阵元素是多少？答：平面问题4节点等参元，其单元自由度是8个；单元刚阵元素有64个。(2)弹性力学空间轴对称问题三角形3节点单元，其单元自由度是多少？单元刚阵元素是多少？答：轴对称问题三角形3节点单元，单元自由度是6个；单元刚阵元素有36个。64.回答下列问题：答：空间问题4节点等参元，其单元自由度是12个；单元刚阵元素有144个。(3)弹性力学空间问题4节点等参元，其单元自由度是多少？单元刚阵元素是多少？75.对于平面、空间实体单元，位移有限元计算结果中，位移和应力解结果的精确度是相当吗？如果精度不相当，哪一个解较精确？答：对于平面、空间实体单元，位移有限元计算结果中：位移解的精度较好。6.判断（）1.对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元。（）2.不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型。（）3.四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元。（）4.平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚度来作模型化处理的话会得到一样的答案。6.判断（）5.一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好。（）6.所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度。（）7.同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小。（）8.一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。7.填空1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是：，变形发生在板面内；后者受力特点是：的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量：，三个独立的应变分量：，但对应的弹性体几何形状前者为，后者为。3．位移模式需反映，反映，满足。4．单元刚度矩阵的特点有：，，还可按节点分块。5．轴对称问题单元形状为：，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为问题处理。平行于板面且沿厚度均布载荷作用单元边界上位移连续垂直于板面σx，σy，τxyεx，εy，γxy薄板长柱体刚体位移常应变对称性奇异性二维三角形或四边形截面的空间环形单元7.填空平衡方程、物理方程、几何方程6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。8．一个空间块体单元的节点有个节点位移：。9．变形体基本变量有;基本方程有。10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元6．等参数单元指的是：。等参数单元优点是：。7．有限单元法首先求出的解是，单元应力可由它求得，其计算公式为[][]eDB7．有限单元法首先求出的解是节点位移，单元应力可由它求得，其计算公式为u，v，w3位移、应变、应力10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是。单元8.选择（1）等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用___的结点和______的插值函数。（A）不相同，不相同（B）相同，相同（C）相同，不相同（D）不相同，相同B8.选择（2）有限元位移模式中，广义坐标的个数应与_______相等。（A）单元结点个数（B）单元结点自由度数（C）场变量个数B8.选择（3）如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，单元的完备性是指试探函数必须至少是______完全多项式。（A）m-1次（B）m次（C）2m-1次B8.选择（4）与高斯消去法相比，高斯约当消去法将系数矩阵化成了_________形式，因此，不用进行回代计算。（A）上三角矩阵（B）下三角矩阵（C）对角矩阵C8.选择（5）对分析物体划分好单元后，_______会对刚度矩阵的半带宽产生影响。（A）单元编号（B）单元组集次序（C）结点编号C8.选择（6）n个积分点的高斯积分的精度可达到______阶。（A）n-1（B）n（C）2n-1（D）2nC8.选择（7）引入位移边界条件是为了消除有限元整体刚度矩阵的_________。（A）对称性（B）稀疏性（C）奇异性C8.选择（8）在加权余量法中，若简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数，这类方法称为______________。（A）配点法（B）子域法（C）伽辽金法C8.选择（9）采用位移元计算得到应力近似解与精确解相比较，一般___________。（A）近似解总小于精确解（B）近似解总大于精确解（C）近似解在精确解上下震荡（D）没有规律C8.选择（10）对称荷载在对称面上引起的_____________分量为零。（A）对称应力（B）反对称应力（C）对称位移（D）反对称位移D9.简答（1）简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。（a）对称性；（b）奇异性；（c）主对角元恒正；（d）稀疏性；（e）非零元素带状分布9.简答（2）简述有限元法中选取单元位移函数（多项式）的一般原则。一般原则有:(a)广义坐标的个数应该与结点自由度数相等；(b)选取多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备；(c)多项式的选取应由低阶到高阶；(d)尽量选取完全多项式以提高单元的精度.9.简答（3）有限元法分析的目的是什么？有限元方法分析的目的：(a)对变形体中的位移、应力、应变进行定义和表达，进而建立平衡方程、几何方程和物理方程。(b)针对具有任意复杂几何形状的变形体，完整得获取在复杂外力作用下它内部的准确力学信息。(c)力学分析的基础上，对设计对象进行强度(strength)、刚度（stiffness）评判，修改、优化参数。9.简答（4）有限单元法分析步骤.(a)结构的离散化(b)选择位移模式(c)分析单元的力学特性(d)集合所有单元平衡方程，得到整体结构的平衡方程(e)由平衡方程求解未知节点位移(f)单元应变和应力的计算9.简答（5）简述有限单元法的收敛性准则。(a)完备性要求如果在能量泛函中所出现的位移函数的最高阶导数是m阶，则有限元解收敛性条件之一是单元位移函数至少是m阶完全多项式。(b)协调性要求如果在能量泛函中所出现的位移函数的最高阶导数是m阶，则位移函数在单元边界界面上必须具有直到m-1解的连续导数，即Cm-1连续性。9.简答（6）考虑下列三种改善应力结果的方法（a）总体应力磨平、（b）单元应力磨平和（c）分片应力磨平，请分别将它们按计算精度（高低）和计算速度（快慢）进行排序。计算精度（a）（c）（b）计算速度（b）（c）（a）9.简答（a）总体应力磨平10.计算如图1所示等腰直角三角形单元，其厚度为t，弹性模量为E=1，泊松比v=0；单元的边长a=1及结点编号见下图所示。试求：(1)形函数矩阵N；(2)应变矩阵B和应力矩阵S；(3)单元刚度矩阵Ke。123aa10.计算解：设右图所示的各点坐标为点1（a，0），点2（a，a），点3（0，0）于是，可得单元的面积为12A2a，及)(21)(21)(21333322221111ycxbaANycxbaANycxbaAN123aa23132113311xxcyybyxyxa31213221122xxcyybyxyxa12321332233xxcyybyxyxaa1=0a2=0a3=0b1=ab2=0b3=-ac2=ac3=0c1=-a10.计算解：设右图所示的各点坐标为点1（a，0），点2（a，a），点3（0，0）于是，可得单元的面积为12A2a，及)(21)(21)(21333322221111ycxbaANycxbaANycxbaAN123aa0y)ax(a2A1Nay)0x(02A1Nay)ax(02A1N32110.计算解：设图1所示的各点坐标为点1（a，0），点2（a，a），点3（0，0）于是，可得单元的面积为12A2a，及123123NNNNIIINNN（1）形函数N为123aa10.计算解：123123NNNNIIINNN（1）形函数N为123aa（2）单元应变矩阵B和应力矩阵S分别为LNBxNyNxNyNxNyNyNyNyNxNxNxN33221132132100000010.计算解：123123NNNNIIINNN（1）形函数N为123aa（2）单元应变矩阵B和应力矩阵S分别为LNBa00aaa00a0a00a000aa1210.计算解：123123NNNNIIINNN（1）形函数N为123aa（2）单元应变矩阵B和应力矩阵S分别为DBSxNyNxNyNxNyNyN0yN0yN00xN0xN0xN210001011E332211321321210.计算解：123123NNNNIIINNN（1）形函数N为123aa（2）单元应变矩阵B和应力矩阵S分别为DBS2a002a2a2a00a0a00a000aaEa00aaa00a0a00a000aa12100010001E2210.计算解：123aa（2）单元应变矩阵B和应力矩阵S分别为DBS2a002a2a2a00a0a00a000aaE2（1）形函数N为（3）单元刚度矩阵KetAtATTSBDBBKe10.计算解：123aa（3）单元刚度矩阵Ke1001110200020020201001111021311201134EttA2a002a2a2a00a0a00a000aaEa00aaa00a0a00a000aa1tAtA2T2TTSBDBBKe11.计算11.计算11.计算解：jmmmmiiiijjj1N/m21N/m124563（1）根据对称性，计算模型如右图所示。（2）每个单元的合理局部编号，如右图所示。所谓“合理”即使半带宽B最小）12.一些概念及术语理解（1）什么是平面应力问题？什么是平面应变问题？答：平面应力问题是指薄板受平行于板面且沿厚度均布载荷作用，只有xy面上三个应力分量σx，σy，τxy非零。平面应变问题是指长柱体受平行于横截面且沿长度均布载荷作用，只有xy面上三个应变分量εx，εy，γxy非零。12.一些概念及术语理解（2）单元剖分时应注意哪些问题？答：规模适当、单元形状尽量接近正多边形、不同材料部分划分在不同单元、不同厚度或不同截面划分在不同单元、集中力作用点及分布载荷密度变化处设置节点、应力集中区域