球的表面积与体积

思考：如何求球的体积？排液法：hHh假设将圆n等分，则n=6n=12A1A2OA2A1AnO1n3221OAAOAAOAASSSS正多边形)AAAAAA(p211n3221正多边形pC21圆正多边形时，当CC,Rpn2RR2R21S圆pA3回顾：圆面积公式的推导延伸阅读：割圆术早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”。他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”。这样重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣”。这是世界上最早的“极限”思想。思考：能否也采取“分割”与“极限”思想，推导球的体积公式？把半球分割成n个薄片当分割的层数不断增加，每一层就越接近一个圆柱体。OR)1(inR.,2,1,)]1([22niinRRriir当n→∞时，每个薄片近似于圆柱设球的半径为R，它的体积只与半径R有关。将半球分割成n层，每一层都近似于圆柱形状的“小圆片”。这些“小圆片”的体积之和就是球的体积。选第i层（由下而上），如右图。厚度：下底面半径：体积：Rn23211ninRnRrVii球的体积公式12nVVVV半球＝322222212(1){1(1)(1)[1]}Rnnnnn3222212(1)[]Rnnnn32(1)(21)[1]6nnRn612121222))((nnnn311(1)(2)[1]6nnVR半球1nn当无限变大时，趋于0323VR半球＝343VR球＝用“祖暅原理”得到球体积公式R332RV半球331RV圆锥3RV圆柱高等于底面半径的旋转体体积对比球的表面积公式推导球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢?从球的体积公式的推导方法,得到启发，可以借助极限思想方法来推导球的表面积公式。oiSo则球的体积为：iV设“小锥体”的体积为iVnVVVVV321iSOO34133RsR球的表面积公式推导24SR基本计算问题1.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:(1)球的表面积等于圆柱的侧面积.(2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.O2.(1)把球的半径扩大为原来的3倍，则体积扩大为原来的________倍.(2)把球队表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大为原来的_______倍.(3)三个球的表面积之比为1:2:3，则它们的体积之比为_________.(4)三个球的体积之比为1:8:27，则它们的表面积之比为________.用一个平面α去截一个球O，截面是圆面222dRrrdROß球的截面的性质：球心和截面圆心的连线垂直于截面球心到截面的距离为d，球的半径为R，则截面问题截面问题1.一球的球面面积为256πcm2，过此球的一条半径的中点，作垂直于这条半径的截面，求截面圆的面积.变式：在球内有相距9cm的两个平行截面，截面面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积.两种情况2.过球面上三点A、B、C的截面和球心O的距离等于球的半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3，求球的体积.变式：在半径为13cm的球面上有A、B、C三点，AB＝6cm，BC＝8cm，CA＝10cm，求经过A、B、C三点的截面与球心O之间的距离.要点：准确画图，利用基本三角形“接”与“切”：两个几何体相（内）切:一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上解决“接切”问题的关键是画出正确的截面，把空间“接切”转化为平面“接切”问题球与正方体的“接切”问题典型：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比.•画出正确的截面：(1)中截面；(2)对角面•找准数量关系21araaaa2ar222aa2ar233球与正方体的“接切”问题...，求它的外接球表面积，，侧面面积分别为长方体的共顶点的三个，求半球的半径正方体的一边长为在半球的底面圆上，若，正方体的一个面半球内有一内接正方体多少纸？有盖纸盒中，至少要用体的，把钢球放入一个正方钢球直径，求这个球队体积是球面上，它的棱长一个正方体的顶点都在1553463.5cm2..4cm1.2222cbal长方体对角线四面体与球的“接切”问题典型：正四面体ABCD的棱长为a，求其内切球半径r与外接球半径R.思考：若正四面体变成正三棱锥，方法是否有变化？1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等2、正多面体的内切球和外接球的球心重合3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理5、体积分割是求内切球半径的通用做法四面体与球的“接切”问题.,....)()(.球的半径，求三棱锥的内切面，中，在三棱锥正三棱锥的体积的内接正三棱锥，求此为的球内有一个底面边长在半径为求它的内切球的表面积求它的外接球的体积；，侧棱长为正四棱锥的底面边长为ABCSABACACABSAABCSaa90133121522121此页不讲，留给以后专题课球与旋转体的“接切”问题1.半圆O的直径为直角梯形垂直于底的腰，且切AB、BC、CD于A、E、D点，将其绕AD所在直线旋转一周，得到一个球与一个圆台，若球的表面积与圆台侧面积的比为3:4，求球的体积与圆台体积之比.2.一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？轴截面球堆问题1.把半径为R的四个球垒成两层放在桌面，下层放三个，上层放一个，两两相切，求上层小球最高点离桌面的距离.2.四个半径为R的大球上层一个，下层三个两两相切叠放在一起，在它们围成的空隙内有一个小球与这四个大球都外切，另有一个更大的球与这四个大球都内切，求小球的半径r和更大球的半径R’.化归为以各球球心为顶点的多面体问题此页2不讲，留给以后专题课平行于底面的截面与底面相似，且SS121)hh(S底截S当平行于底面的截面过棱锥高的中点时，这个截面常被称为中截面，思考：?S底中截S原棱锥侧小棱锥侧＝SS锥体截面性质锥体截面问题1.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1:3，这截面把圆锥母线分成为两段的比是多少？变式：棱锥的底面面积为150cm2，平行于底面的截面面积为54cm2，若底面和截面的距离为14cm，求这个棱锥的高