基于采样的非线性滤波方法综述

龙源期刊网基于采样的非线性滤波方法综述作者：程卓郑祥来源：《软件工程师》2010年第06期摘要:对基于采样的非线性滤波方法的原理及应用进行了综述。在系统阐述贝叶斯估计理论的基础上,按照非线性函数线性化方法的不同,分析和总结卡尔曼滤波、扩展的卡尔曼滤波、sigma点卡尔曼滤波以及粒子滤波等算法的特点、使用方法和使用范围。最后,对非线性滤波的发展方向进行了展望。关键词:贝叶斯估计;卡尔曼滤波;统计线性回归;粒子滤波1引言利用含有噪声的观测量,对非线性系统的状态做出实时估计的问题,在许多领域都具有广泛的应用价值。状态空间方法,利用作概率推理所必须的两个模型,即动态方程和量测方程,集中处理系统的状态向量,较好地描述了这一问题。序列贝叶斯估计方法,通过实时更新系统状态的条件概率密度函数,充分利用所有的观测信息和系统信息,给出解决这一问题的基本框架;而且,由于后验概率密度函数包含了系统状态的全部统计信息,因而,也是这一问题的完整解决方案。但在实际应用中,最优的贝叶斯估计方法不易实现,而只能用次优的滤波算法。在一系列次优滤波算法中,扩展的卡尔曼滤波(EKF)方法,无疑是应用最为广泛的一种。但在许多应用条件下,由于一阶近似带来的精度差、估计有偏甚至发散等问题,促使人们不断寻求新的非线性滤波算法。最近出现的一系列基于采样的滤波算法,无论是实现方法,还是使用范围,都是EKF方法的有益扩展,并且滤波性能也得到改善。本文在介绍一些基本滤波方法的基础上,对这些算法的理论基础、使用方法、应用范围及相互间的联系及区别,作了较为详细的阐述。2最优滤波方法对非线性状态估计问题,至少需要两个模型才能对状态作分析和推理。即表达状态随时间变化的动态方程和表述观测向量与状态向量之间关系的量测方程。(1)(2)其中,是系统的状态序列,,都是非线性函数,都是独立同分布的噪声序列。龙源期刊网贝叶斯估计方法[1]从贝叶斯估计的角度讲,状态估计问题就是利用全部已知信息构建系统状态的条件概率密度函数,其中。如果能够得到,我们不仅可以得到状态的最优估计,而且也能对估计的质量给出定量描述。例如:递推的贝叶斯估计方法共包含两个步骤:时间更新和观测更新。时间更新:(5)观测更新:(6)其中,归一化常数(7)虽然递推的贝叶斯估计方法给出了状态的最优解,但式(7)中的多维积分使得本方法难以实现。只有在线性高斯条件下,才存在解析解,这就是著名的卡尔曼滤波。2.2卡尔曼滤波方法当系统方程为线性函数,过程噪声,观测噪声以及系统状态的先验概率密度函数为高斯分布时,递推的贝叶斯会计问题可以大大减化。在这种条件下,由于高斯分布的一、二阶矩包含了概率分布的全部信息,只须估计系统状态的条件均值及协方差阵,就能够递推计算后验概率密度函数,其实现过程就是卡尔曼滤波算法[2]。此时,系统方程为:(8)龙源期刊网(9)式中,都是均值为零,独立同分布的高斯过程。卡尔曼滤波算法可描述为:(10)(11)(12)式中,(13)(14)(15)(16)(17)其中,表示变量服从均值为,方差为的高斯分布。3次优滤波方法卡尔曼滤波方法只是针对线性,高斯条件下的特殊情况的贝叶斯估计实现,而实际应用中,非线性非高斯系统是更为广泛的一类情况,此时,只能采用近似的次优滤波算法。这些算法按照使用条件不同,大致可分为高斯近似方法和序列蒙特卡洛方法。高斯近似方法对系统方程中的过程噪声,观测噪声作了高斯分布假定,从而继续使用卡尔曼滤波的框架结构,只是对非线性函数作了处理。按照处理方式的不同,又可划分为扩展的卡尔曼方法和sigma点方法。而序列蒙特卡洛方法则完全摒弃了对卡尔曼滤波方法的依赖,通过逼近状态,后验概率密度函数的方法实现滤波过程。3.1扩展的卡尔曼滤波(EKF)扩展的卡尔曼滤波方法[3]是在高斯噪声假定条件下,通过对相应的高斯随机变量作泰勒级数展开,即龙源期刊网(18)把展开式作一阶截短,就得到EKF中要用的均值和方差,即(19)(20)利用这一结果,对非线性系统(1)(2),式(13)~(17)变为(21)(22)(23)(24)(25)式(21)~(25)与(10)~(12)共同构成EKF滤波算法。EKF方法在线性化过程中,仅对泰勤级数展开作一阶截短,因而其相应的均值,方差估计仅仅有一阶精度;而且,该方法忽略了系统状态及噪声的随机分布特性,仅仅在当前状态、估计值点上作线性变换。这些都对转换后变量均值、方差估计引入了较大的误差,甚至导致滤波器发散。3.2Sigma点卡尔曼滤波(SPKF)为了改善高斯近似滤波方法估计的准确性、一致性及有效性,近期出现了一系列通过确定性采样,对非线性变换用采样点的变换逼近的方法,它们都隐含使用了加权统计线性回归的思想,只是出发点有所差异。(1)加权统计线性回归(WSLR)加权统计线性回归[4](WSLR)提供了一种对随机变量的非线性函数作线性化处理的有效方法。不同于EKF中利用状态估计值点的一阶泰勤级数近似非线性函数,WSLR通过在随机变量的先验分布上采样个取值点,对每一个点作非线性转换,再对转换后的r个值作线性回归,从而求得所需的均值和方差。由于WSLR考虑了随机变量的概率分布特性,因而比泰勤展开方法误差更小。对非线性函数,在的分布上采取个样值点,并作变换,定义龙源期刊网其中个回归权值,满足。对应一个非线性函数,如有在随机变量的先验分布上选取采样点,又称sigma点,以及如何确定各点对应的权值,成为一个关键问题。正是对这一问题的不同回答,导致产生无轨道卡尔曼滤波[5](unscentedKalmanFilter,UKF)和中心差分卡尔曼滤波[6,7](CentralDifferenceKalmanFilter,CDKF)两种不同的滤波方法。(2)无轨迹卡尔曼滤波(UKF)方法作为SPKF的一种,UKF对sigma点及对应权值的选定遵循以下原则:选取的sigma点能够捕获随机变量X最重要的统计特性,它把sigma点的选取问题转化为以下的优化问题:(31)其中是全部的sigma点及其权值集合。函数表示约束条件,是代价函数,代价函数包含我们期望的统计特性,但不一定需要满足。是我们必须满足的条件,在UKF中,由于一二阶矩是必须捕获得统计特性,约束条件可表示为:而代价函数的确定视我们的需要而是。如果我们要降低高阶矩的估计误差,则可选为三阶矩或四阶矩;如果我们要尽可能减少sigma点的数目,则。基本的UKF中,sigma点的选取是为了捕获的一二阶矩,常选取以下的sigma点及其对应权值:龙源期刊网其中,是标度因子。决定sigma点在周围的散布情况,是另外一个标度因子,K表征X的先验发布信息。详细说明可参阅文献[5]。(3)中心差分卡尔曼滤波(CDKF)方法由Ito等[6]和等[7],各自独立提出的CDKF方法,基于斯特灵(stirling)内插公式,利用中心插分代替式(18)中泰勤展开中的一二阶级数,即(35)(36)对多维向量的情况,通过线性变换作随机解耦,使得各方向之间互不相关,从而把式(35)、(36)扩展到多维的情况。利用中心差方方法进行线性变化过程中,虽然没明确利用WSLR原理,但其最终结果显示,它也是一种基于WSLR的线性方法。其sigma点集及对应数值为:龙源期刊网为高斯分布时,可取值[7]。(4)sigma点卡曼滤波(SPKF)算法当sigma点集及其对应权值确定后,就得到SPKF滤波算法,它们对应于系统(1)、(2):式(38)~(45)与式(10)~(12)共同构成SPKF滤波算法。4序列蒙特卡洛(SMC)方法SMC方法[3]同样基于采样方法,但对系统噪声及状态的先验分布不再作高斯分布假定,因而完全抛弃卡尔曼滤波的结构框架,而采用一组随机采取的样值点直接近似状态的后验概率密度函数。如果有一组采样点及相应权值集合,则后验概率密度函数表示为(46)表示条件概率密度函数的采样点,在理想条件下应该由函数中抽取,但求得与估计系统状态具有同样的难度。所幸的是,对各采样点的权值,并不要求得其确切数值,只须在一定比例因子下龙源期刊网求得其大小,这使得对后验概率密度函数的近似成为可能。我们可以选取另外一个容易采样的概率密度函数,由函数q采取样值点,它们在函数p上对应的权值为:假定在k-1时刻,我们有一组采样点集,对由式(1)(2)确定的系统,在贝叶斯估计框架下,SMC方法形式经推导为:式中为函数上的随机采样点。采样函数q的选取具有重要意义,它至少应该包含所有的函数p的支持点,即:存在常数,满足,而且,函数q应该尽可能与函数p接近。5结束语非线性对自然界的描述更接近事物的本原,因而其处理结果更加准确。在贝叶斯框架下,以对EKF方法改进为出发点的各种高斯近似方法,在计算量基本不变的条件下,提高了滤波精度,拓展了适应范围。以计算机技术发展为前提发展起来的SMC方法,摒弃了对状态分布的高斯限定,处理精度可以随计算能力无限提高,代表了未来的发展方向。对SMC方法中采样函数,重采样技术,以及高斯近似与SMC方法的有效融合,都将成为将来的研究重点。另外Set-valued滤波方法[8]通过传递状态的期望值及分布区域边界,实现对系统状态的递推估计,是一种全新的滤波思想,也不断受到人们的关注。参考文献[1]MERWERV.Sigma-PointKalmanfiltersforprobabilisticinferenceindynamicstate-spacemodels[D].PhDthesis,SchoolofScience&EngineeringatOregonHealth&ScienceUniversity,2004.[2]KALMANRE.Anewapproachtolinearfilteringandpredictionproblems[J].TransactionsoftheASME-JournalofBasicEngineering,1960:82(D):35-45.龙源期刊网[3]ARULAMPALAMMS,MASKELLS,etal.Atutorialonparticlefiltersforonlinenonlinear/non-GaussianBayesiantracking[J].IEEETransactionsonSignalProcessing,2002,50(2):174-188.[4]SCHEITS.AFinite-differencemethodforlinearizationinnonlinearestimationalgorithms[J].Automatica,1997,33(11):2051-2058.[5]JULIERSJ,UHLMANNJK.Unscentedfilteringandnonlinearestimation[J].ProceedingoftheIEEE,2004,92(3):401-422.[6]ITOK,XIONGK.Gaussianfiltersfornonlinearfilteringproblems[J].IEEETransactionsonAutomaticControl,2000,45(5):pp.910-927.[7]NORGAARDM.POULSENN.RAVNO.Newdevelopmentsinstateestimationfornonlinearsystems[M].Automatica,36,2000:1627-1638.[8]CALAFIOREG.ReliableLocalizationUsingSet