高中数学-数列及其极限范例例题

主题1数列例题1数列的一般项■解(1)此数列首项为10，公差为－3，一般项an＝10＋（n－1）．（－3）故此数列为〈－3n＋13〉将下列各数列用〈an〉表示：(1)等差数列：10，7，4，1，－2，……。＝－3n＋13例题1数列的一般项■解(2)此数列首项为（－2），公比为一般项an＝（－2）．＝（－2）．（－2）1－n＝（－2）2－n故此数列为〈（－2）2－n〉(3)此数列为常数数列，每一项都是2，一般项an＝2故此数列为〈2〉下一题12－112n－－将下列各数列用〈an〉表示：(2)等比数列：－2，1，(3)常数数列：2，2，2，2，2，……。111248－，，－，……。例题2两数列的比较就n值比较两数列第n项的大小关系：(1)等比数列和常数数列13n11000。■解(1)数列的前几项都大于，但因其各项愈来愈小因此先求出何时会开始小于解，满足3n＞1000的最小正整数n为7，故当n7时，即数列从第7项开始，其值都小于13n1100011113100010003nn＜，即＜1131000n＜1100013n11000可推得3n＞1000■解(2)解，即3n＞108取常用对数，得log3n＞log108故n＞即数列从第17项开始，其值都小于811310n＜8816.77log30.477113n8110(2)等比数列和常数数列（log30.4771）13n8110。n．log3＞8例题2两数列的比较就n值比较两数列第n项的大小关系：■解上一题下一题(3)数列〈n＋100〉的前几项都大于〈n2〉的前几项，但因为〈n2〉增加的速度愈来愈快，因此先求出n2何时会大于n＋100，解n2＞n＋100，即n2－n＞100，可推得n（n－1）＞100满足此条件的最小正整数n为11故当n11时，n2＞n＋100(3)等差数列〈n＋100〉和平方数所成的数列〈n2〉。例题2两数列的比较就n值比较两数列第n项的大小关系：例题3两数列的关系(一)利用数学归纳法证明当n2时，数列〈5n〉的一般项大于或等于数列〈4n＋3n〉的一般项。只要证明n2时，5n－（4n＋3n）0即可我们利用数学归纳法证明如下：(1)当n＝2时，52－（42＋32）＝0，原式成立(2)设n＝k（k2）时，5k－（4k＋3k）0成立，则n＝k＋1时，5k＋1－（4k＋1＋3k＋1）＝5．5k－（4．4k＋3．3k）＝5〔5k－（4k＋3k）〕＋4k＋2．3k0＋4k＋2．3k0上一题下一题■證原式亦成立故由数学归纳法，得证例题4两数列的关系(二)(1)雅涵在银行存了一万元，在年利率25％的情况下，试分别以复利及单利计算雅涵的存款在n年后的本利和。（单位：万元）(1)复利计算：本利和＝本金．（1＋利率）期数＝1．（1＋25％）n＝单利计算：本利和＝本金．（1＋利率×期数）＝1．（1＋25％．n）＝■解114n＋114n＋例题4两数列的关系(二)(2)先列出一开始的前4项如右表，观察比较：因此猜测对于任意正整数n，都有利用数学归纳法证明如下：①当n＝1时，■解111144nn＋＋1151111444＋＝＝＋．，原式成立nn＝1n＝2n＝3n＝4114n＋114n＋5544　＝　253162　＞　　1257644　＞　　6252256　＞　　(2)试就n值比较两数列第n项的大小关系。111144nn＋和＋例题4两数列的关系(二)②设n＝k时，成立则n＝k＋1时，■解上一题下一题111144kk＋＋．1111111444kk＋＋＝＋＋原式亦成立故由数学归纳法证明猜测是正确的1114k＋（＋）11511114444kk＋＋．＝[phone]kk∵＋＋＋主题2数列的极限及极限的性质例题5判断数列的收敛与发散■解(1)当n愈来愈大时，数列的一般项会趋近于0(2)当n愈来愈大时，数列的一般项会趋近无穷大故此数列发散在数在线标示下列各无穷数列前几项的变化情形，进而判断数列的敛散性。1nn。。1lim0nn即＝(1)(2)例题5判断数列的收敛与发散■解(3)当n愈来愈大时，数列的一般项会趋近于0(4)当n愈来愈大时，数列的一般项会趋近于0在数在线标示下列各无穷数列前几项的变化情形，进而判断数列的敛散性。10.92nn（）。－。lim0.90nn即（）＝1lim02nn即－＝(3)(4)例题5判断数列的收敛与发散■解(5)数列的一般项会在－1和1这两个数跳动不会趋近于一个固定值，故此数列发散(6)数列的每一项数值都是3，故(1)(3)(4)(6)为收敛数列，(2)(5)为发散数列在数在线标示下列各无穷数列前几项的变化情形，进而判断数列的敛散性。11n＋（－）。lim33n即＝上一题下一题(5)(6)〈3〉。例题6数列的极限值(一)■解试求下列各式的极限值：(1)(2)102limnn。2111lim0lim0lim02nnnnnn＝，且＝；＝101021limlim2lim102400nnnnn＝（）．＝．＝2214111lim3lim4limlim322nnnnnnnn－＋＝－＋＝0－0＋3＝3214lim32nnn－＋。(1)(2)例题6数列的极限值(一)■解试求下列各式的极限值：上一题下一题2122121limlim2nnnnnn＋＋－。。22222222212121limlimlimlim202nnnnnnnnnnnn＋＝＋＝＋＝＋＝111212121limlimlimlim20222222nnnnnnnnnnnn＋＋＋－＝－＝－＝－＝2111lim0lim0lim02nnnnnn＝，且＝；＝(3)(4)(3)(4)例题7数列的极限值(二)分式型■解试求下列各式的极限值：22232131limlim23521nnnnnnnn＋－－。。－＋＋22222133213003limlim3520022352nnnnnnnnnn＋－＋－＋－＝＝＝－＋－＋－[phone]limlim0120212nnnnnnn－－－＝＝＝＋＋＋(1)(2)(1)(2)例题7数列的极限值(二)分式型■解结论：(1)分母次数＝分子次数极限值等于最高次项系数的比值(2)分母次数＞分子次数，极限值为0(3)分母次数＜分子次数，极限不存在上一题下一题322523lim21nnnn－＋。＋试求下列各式的极限值：32222352523limlim1212nnnnnnnn－＋－＋＝，極限不存在＋＋(3)(3)例题8数列的极限值(三)根式型■解试求下列各式的极限值：21121limlim1nnnnnnnn＋－＋－＋。。＋－2221111111limlimlimlimlim1011nnnnnnnnnnnn＋＋－＋＝－＝－＝－＝2121121limlim11121nnnnnnnnnnnnnnnnnn＋－＋＋－＋＋＋＋＋＋＝．．＋－＋－＋＋＋＋＋1lim21nnnnnn＋＋＝（分子、分母同除以）＋＋＋11111lim1112111nnnn＋＋＋＝＝＝＋＋＋＋上一题下一题(1)(2)(1)(2)主题3无穷级数的和例题9判断无穷级数的收敛与发散■解(1)由等差级数的前n项求和公式，Sn＝1＋3＋5＋7＋……＋（2n－1）试判断下列无穷级数是否为收敛级数？若是，则此收敛级数的和是多少？21212nnn〔＋（－）〕．＝＝级数的前n项部分和为2limnn因極限不存在，故此級數為發散級數(1)1＋3＋5＋7＋……＋（2n－1）＋……。例题9判断无穷级数的收敛与发散■解由分项消去法，级数的前n项部分和为试判断下列无穷级数是否为收敛级数？若是，则此收敛级数的和是多少？11111223341nn＋＋＋……＋＋……。（＋）1111111111nnnnnnnnnnnnnn（＋）－＋因為＝＝－＝－（＋）（＋）（＋）（＋）[phone]nSnn＝＋＋＋……＋（＋）111111111223341nn＝－＋－＋－＋……＋－＋111n＝－＋1lim111nn因－＝，＋故此级数为收敛级数，且和为1(2)(2)例题9判断无穷级数的收敛与发散■解上一题下一题11111123nnn＝＝＋＋＋……＋＋248111111111124488881616個個個＞＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋1211122無窮多個＝＋＋＋，故此級數為發散級數试判断下列无穷级数是否为收敛级数？若是，则此收敛级数的和是多少？11nn＝。(3)(3)主题4无穷等比数列与无穷等比级数例题10等比数列的收敛与发散■解判断下列各数列是否收敛？若是，求此数列的极限值。0.09n〈（）〉。1n〈（－）〉。(1)此等比数列的公比r＝0.99因为－1＜r1，所以数列〈（0.99）n〉收敛(2)此等比数列的公比r＝－1所以数列〈（－1）n〉发散(1)(2)lim0.990nn且（）＝例题10等比数列的收敛与发散■解判断下列各数列是否收敛？若是，求此数列的极限值。因为－1＜r1，111102nn。－。1110r此等比數列的公比＝11110nr因為＞，所以數列發散12r此等比數列的公比＝－11lim022nnn所以數列－收斂，且－＝(3)(4)(3)(4)例题10等比数列的收敛与发散■解判断下列各数列是否收敛？若是，求此数列的极限值。(5)（分子、分母同除以7n）上一题下一题5472nnnn＋。＋545477limlim72217nnnnnnnnn＋＋＝＋＋0024501110777＋＝＝∵－＜＜＜＋5454lim07272nnnnnnnnn＋＋所以數列收斂，且＝＋＋(5)例题11无穷等比级数■解故满足此条件的最小正整数n＝10211111222nnSn－無窮等比級數＋＋＋……＋＋……，其中表前項和，則：nS試求。1lim500nnnSSSSn令＝，若－＜，試求滿足此條件的最小正整數。11121211212nnnS－＝＝－－1lim2121022nnS＝－＝（－）＝111112122225002nnnnSS－∴－＝－－＝－＝＜125001910nnn－＞－上一题下一题(1)(2)(1)(2)例题12无穷等比级数的求和■解(1)公比r＝试求下列无穷等比级数的和。12311113333n＋＋＋……＋＋……。1312311113333n＋＋＋……＋＋……由求和公式得1131213＝＝－(1)例题12无穷等比级数的求和■解上一题下一题111nn－（－）。(3)＝1＋（－1）＋1＋（－1）＋……111nn－（－）试求下列无穷等比级数的和。123nn＝－。23122223333nn＝－＝－＋－＋－＋……2233ar首項＝－，公比＝－1222323513nn＝－由求和公式得－＝＝－－－1r公比＝－，故級數發散(2)(3)(2)例题13无穷等比级数的应用设矩阵A＝，且数列〈an〉与〈bn〉满足A其中n＝1，2，……，且a1＝3，b1＝－1，试求