概率论与数理统计-等可能概型-古典概型

一、等可能概型二、典型例题三、几何概率四、小结第四节等可能概型(古典概型)..)2(;)1(古典概型验称为等可能概型或具有以上两个特点的试生的可能性相同试验中每个基本事件发有限个元素试验的样本空间只包含1.定义一、等可能概型(古典概型)设试验E的样本空间由n个样本点构成，A为E的任意一个事件，且包含m个样本点，则事件A出现的概率记为:2.古典概型中事件概率的计算公式.)(样本点总数所包含样本点的个数AnmAP称此为概率的古典定义.3.古典概型的基本模型:摸球模型(1)无放回地摸球问题1设袋中有4只白球和2只黑球,现从袋中无放回地依次摸出2只球,求这2只球都是白球的概率.解},2{只球都是白球摸得设A基本事件总数为,26A所包含基本事件的个数为,242624)(AP故.52(2)有放回地摸球问题2设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球的概率.解}3,2{次摸到红球第次摸到黑球前设A第1次摸球10种第2次摸球10种第3次摸球10种6种第1次摸到黑球6种第2次摸到黑球4种第3次摸到红球基本事件总数为,101010103A所包含基本事件的个数为,466310466)(AP故.144.0课堂练习1骰子问题掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的概率.)63:(3p答案4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型(1)杯子容量无限问题1把4个球放到3个杯子中去,求第1、2个杯子中各有两个球的概率,其中假设每个杯子可放任意多个球.33334个球放到3个杯子的所有放法,333334种个2种24个2种22因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为432224p.272(2)每个杯子只能放一个球问题2把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能放一个球,求第1至第4个杯子各放一个球的概率.解第1至第4个杯子各放一个球的概率为41044ppp789101234.21012o生日问题某班有20个学生都是同一年出生的,求有10个学生生日是1月1日,另外10个学生生日是12月31日的概率.)92:(答案)36510101020:(20p答案课堂练习1o分房问题将张三、李四、王五3人等可能地分配到3间房中去,试求每个房间恰有1人的概率.解}.,,,,,,,{TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHS则}.,,{1TTHTHTHTTA而.83)(1AP得}.,,,,,,{)2(2TTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHA.87)(2AP因此).(,)2().(,)1(.2211APAAPA求次出现正面”“至少有一为设事件求”次出现正面为“恰有一设事件将一枚硬币抛掷三次.,)1(为出现反面为出现正面设TH二、典型例题1例例2一只口袋装有6只球,其中4只白球、2只红球.从袋中取球两次,(a)第一次取一只球,放回袋中,抽样.(b)第一次取一球不放回袋中,余的球中再取一球,(1)取到的两只球都是白球的概率;(2)取到的两只球颜色相同的概率;种取球方式:试分别就上面两种情况求考虑两观察其颜色后第二次从剩这种取球方式叫做不放回抽样.每次随机地取一只,这种取球方式叫做放回搅匀后再取一球.(3)取到的两只球中至少有一只是白球的概率.(a)放回抽样的情况.解分别表示以CBA,,事件“取到的两只球都是白球”,“取到的两只球都都是红球”,“取到的两只球中至少有一只是白球”.,”“BA这一事件为球取到两只颜色相同的易知.BC而在袋中依次取两只球，每一种取法为一个基本事件,显然此时样本空间中仅包含有限个元素,且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同,因而可利用(4.1)式来计算事件的概率.第一次从袋中取球有6只球可供抽取,第二次也有6只球可供抽取.由组合法的乘法原理,一共有.66种取法.66为即样本空间中元素总数对于,而言事件A由于第一次共有4只白球可供抽取,第二次也有4只白球可供抽取,则由乘法原理总共有,44种取法.44个元素中包含即A同理,中包B.22个元素含于是)(AP6644.94)(BP6622.91,AB由于得)(BAP)()(BPAP.95)(CP(b)不放回抽样.由读者自己完成.)(BP)(1BP.98例3,)(个盒子里去只球随机地放入将nNNn试求每个盒子至多有一只球的概率(盒子容量不限).解,个盒子中去只球放入将Nn因每一只,个盒子中的任一盒子球都可以放入N故共有,种不同的放法nNNNN而每个盒子种中至多放一只球共有)]1([)1(nNNN不同放法.因而所求的概率为pnNnNNN)1()1(nnNNA说明：许多问题和本例有相同数学模型.生日问题假设每人的生日在一年365天中任一天是等可能的,即都等于1/365,,)365(个人那么随机选取n他们的生日各不相同的概率为nn365)1365(364365因而,相同的概率为个人中至少有两人生日n生日问题pnn365)1365(3643651我们利用软件包进行数值计算计算可得下述结果:64个人的班级里，生日各不相同的概率为.365)164365(364365641p至少有2人生日相同的概率为64365)164365(3643651p.997.0在N件产品中抽取n件,其中恰有k件次品的取法共有,种knDNkD于是所求的概率为.nNknDNkDp解在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有,种nN?)(,,,件次品的概率是多少问其中恰有件今从中任取件次品其中有件产品设有DkknDN4例例5,只白球袋中有a,只红球b个人依次在k袋中取一只球,(1)作放回抽样;(2)作不放回抽样,的概率记为事件人取到白球求第)(),,2,1(Bkii).(bak解(1)放回抽样的情况,显然有)(BP(2)不放回抽样的情况.各人取一只球,每种取法是一个基本事件.)1()1)((kbababa共有,个基本事件kbaA且由于对称性知每个基本事件.baa发生的可能性相同.,发生时当事件B人取的应第i是白球,,只白球中的任一只它可以是a.种取法有a只球中只球可以是其余其余被取的11bak,1只中的任意k共有]1)1(1[)2)(1(kbababa11kbaA种取法,,11个基本事件中包含于是kbaAaB故根据(4.1)式得到)(BPkbakbaAAa11baa,)(无关与值得注意的是iBP,个人取球即k尽管取球的先后次序不同,各人取到白球的概率是一样的,大家机会相同(例如在购买福利彩票时,各人得奖的机会是一样的).另外值得注意的是放回抽样与.)(是一样的不放回抽样的情况下BP例6在1~2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?设A为事件“取到的数能被6整除”,B为事件“取到的数能被8整除”，则所求概率为).(BAP)()(BAPBAP)(1BAP)}.()()({1ABPBPAP解,33462000333因为,2000333)(AP所以,8424200083由于.200083)(ABP得于是所求概率为)(BAP200083200025020003331)}()()({1ABPBPAP.43.2000250)(BP故得,25082000由于例7将15名新生随机地平均分配到三个班级中去,这15名新生中有3名是优秀生.问(1)每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少?(2)3名优秀生分配在同一个班级的概率是多少?解15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:55510515.!5!5!5!15(1)每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有.)!4!4!4()!12!3(种因此所求概率为!5!5!5!15!4!4!4!12!31p.9125(2)将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种,对于每一种分法,其余12名新生的分法有.!5!5!2!12种因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有,)!5!5!2()!123(种因此所求概率为!5!5!5!15!5!5!2!1232p.916例8某接待站在某一周曾接待过12次来访,已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的.假设接待站的接待时间没有规定,且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的.解周一周二周三周四周五周六周日.712种12341277777故一周内接待12次来访共有.212种121272p.3000000.0小概率事件在实际中几乎是不可能发生的,从而可知接待时间是有规定的.周一周二周三周四周五周六周日周二周四1234122222212次接待都是在周二和周四进行的共有故12次接待都是在周二和周四进行的概率为定义当随机试验的样本空间是某个区域，并且任意一点落在度量(长度、面积、体积)相同的子区域是等可能的，则事件A的概率可定义为.)(SSAPA说明当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概型.三、几何概型..),(几何概型定的概率称为量来合理规这样借助于几何上的度区域的度量的子是构成事件是样本空间的度量其中ASSA那么.0,0TyTx两人会面的充要条件为,tyx例7甲、乙两人相约在0到T这段时间内,在预定地点会面.先到的人等候另一个人,经过时间t(tT)后离去.设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵连.求甲、乙两人能会面的概率.会面问题解,,时刻的分别为甲、乙两人到达设yx故所求的概率为正方形面积阴影部分面积p222)(TtTT.)1(12Ttxoytxytyx若以x,y表示平面上点的坐标,则有tTT例8甲、乙两人约定在下午1时到2时之间到某站乘公共汽车,又这段时间内有四班公共汽车，它们的开车时刻分别为1:15、1:30、1:45、2:00.如果甲、乙约定(1)见车就乘;(2)最多等一辆车.求甲、乙同乘一车的概率.假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在1时到2时的任何时刻到达车站是等可能的.xoy12见车就乘的概率为正方形面积阴影部分面积p22)12()41(4.4145:130:115:11215:130:145:1设x,y分别为甲、乙两人到达的时刻,则有,21x.21y解最多等一辆车,甲、乙同乘一车的概率为.8521)161(341pxoy1245:130:115:11215:130:145:1蒲丰投针试验例91777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针试验问题.平面上画有等距离为a(a0)的一些平行直线,现向此平面任意投掷一根长为b(ba)的针,试求针与某一平行直线相交的概率.解,,直线的距离到最近的一条平行针的中点表示针投到平面上时　　以MxaxM.夹角表示针与该平行直线的.),(完全确定置可由那么针落在平面上的位x蒲丰资料axM矩形区域果与投针试验的所有可能结}π0,20),{(axxS.中的所有点一一对应由投掷的任意性可知,这是一个几何概型问题.中的点满足发生的充分必要条件为针与某一平行直线相交所关心的事件SA}{.π0,sin20bxo的面积的面积SGSGAP)(μ)(μ)(π2dsin2π0ab.π2π2ababo蒲丰投针试验的应用及意义π2)(abAP那么的近似值代入上