希尔伯特变换与信号的包络-瞬时相位和瞬时频率

零,扣希尔伯特变换与信号的包络、瞬时相位和瞬时频率北京大学程乾生利用希尔伯特变换,可以研究信号的包络、瞬时相位和瞬时频率。这些研究,在地震勘探数字处理中有重要意义。瞬时相位可以帮助对比,瞬时频率和振幅研究相结合可以帮助解释油气层。因此,讨论希尔伯特变换与信号的包络、瞬时相位和瞬时频率是必要的。本文着重原理分析,最后给出计算方法。实连续信号的复信号解析信号和希尔伯特变换在工程和地震勘探中所得到的原始信号,一般应为连续信号,意即自变量时间是连续变化的,又由于取实值,因此我们就称这样的信号为实连续信号。这里,将讨论实连续信号的复信号和希尔伯特变换。实连续信号的复信号我们先考虑简单的余弦信号对。其中。,它可用简单的基本的复信一号“和‘“表示为一·。‘一去·’,。‘一。一‘兀‘。‘在上面的和式中,复信号。兀和‘”的虚部相互抵消了。现在我们考虑实信号二。的另外一种复数表示法要求对。表示成一个复信一号的实部。很自然,二。可表示为·。二‘。,·‘‘。‘或。。兀‘。‘二·一‘“‘。‘通常我们要求复信号的频率取成正的,因此对可表示为。。‘。‘‘“。‘,。。我们称。”为。。,二。的复信一号。对一般的实连续信号,可作类似的讨论。设实连续信号的频谱为,则满足关系式一。可以表示为、’‘正’杨一一、产奋成、‘,,。‘一“,,一‘,口一一“,”“‘’,一一‘’泥’尹由于一,上式第二项为的‘一‘,一‘’一’‘,一‘·’一‘,刁如果要把实信号表示成仅含正频率成份的复信号的实部,则由和式知,可表示为“,·’”‘,杨口‘令十仍“二,。一‘,我们称为的复信号。设的频谱为,则由知由上知,复信号的频谱!在希尔伯特变换时为。夕、一一、、少乎了、现在讨论实信号与复信号的频谱与的关系。由知,是由滤波得到的,滤波器的频谱,为‘,,二由和知,见式对应的时间函数为‘,‘、,,‘、气夕气户宁—兀由和知,实信号的复信号为,‘,、、吸‘’’‘‘、“又‘‘一开又’—冲兀不令的‘,、「,蕊万’‘兀,于一我们称为的希尔伯特变换。从可以看出,对一个信号作希尔伯特变换,为音。”,,和它的频谱,有如下关系相当于作一次滤波,滤波因子希尔伯特滤波因子!∀甚兀L希尔伯特滤波频谱“(f)={丁’f0f0(13)希尔伯特滤波频谱H(f)还可表示为H(f)=e’。’f’,。中一{一户‘“丁fo(14)由上知,一个信号经希尔伯特变换后,相位谱要做90。相移。因此,希尔伯特变换又称为90。相移滤波或垂直滤波。~了写~现在讨论希尔伯特反变换公式,即由x(t)求x(t)的公式。设x(t)的频谱为x(f),由(12)知X(f)其中H(f)由(13)X(f)=H(f)X(f)确定。由于HZ(f)=一1,所以=一H(f)X(f)(15)(16)相应的时间域关系为+‘。x(t)=二里。岌(t)=二If北t尤J-O二兰鱼d:t一T(17)公式(17)称为希尔伯特反变换公式。有时,把公式(12)和(17)在一起统称为希尔伯特变换公式。由(12)和(17)知,若x(t)的希尔伯特变换为x(t),则x(t)的希尔伯特变换为一x(t)。始尔伯特变换的四个例于下面给出在应用中十分重要的四个例子。例l设x(t)=eosZ二fot,求x(t)的希尔伯特变换(f。)o)。cosZ,f。t的频谱为士〔6(f一f。)+6(f+f。)〕,经希尔伯特变换后,频谱变为1,.,.万Lo吸r一10)+o‘I+I。)JnLI)〔6(f一fo)+6(f+fo)〕f0〔6(f一fo)+6(f+fo)〕f06(f一fo)f06(f+fo)f0.,孟一一.L,1一.1二2.1“21一2一一2:、lweesl又/|Ž|||、111--.\一一一一l二一一厄「〔6(f一fo)一6(f+fo)〕。上述频谱所对应的信号为sinZ二f。t。因此,eosZ二f。t的希尔伯特变换为sinZ”f。t。由希尔伯特反变换公式(17)知,sinZ对。t的希尔伯特变换为一cosZ对。t。我们知道,在地震勘探中,地震子波往往可近似表示为。一日’t’co、(2对。t十叻,随着深度和介质情况不同,参数日和f。也有所不同。在例2中,我们将在一定条件下讨论这种波的希尔伯特变换。喇‘.。乌几_,,、__一日2tZ___,。_。‘,_、廿、。\n。\一_廿叨‘尽又人、L声一“u。、‘JL10L下甲户s夕专甲尸/产u一10/沪。Usu_日侧2兀,甲为常数。求x(t)的希尔伯特变换x(t)。由傅氏积分知,。一日’t’的频谱为02、/,甘f2202日J弋‘尸0=一,厂万百~o、/‘沙‘因此,可直接求得信号X(‘)=一日’‘’奋(·’‘2“‘。‘十甲’+一,‘2“。‘十”)的频谱X‘,,为X(f)1o侧27r(f一fo)22口21_;,1十下二e’丫石)二艺U、z乙兀(f+fo)22a2la训2兀为概率论中正态分布密度函数。若f。3a时有近似式一fo)念当f0时·,1a了2冗e202澎。1当f0时,石护牙不_(f+fo)2e2a2澎0因此,对希尔伯特滤波频谱H(f)(见(13)),有X(f)二H(f)X(f)1.。牛心一i下一e乙1仃亿2兀(f一fo)22a2.工十1二万e乙_i。1’二尸一万一eO斌2兀(f+fo)22a2对应于上面的频谱近似式,有信号近似式了(t)二e一日,‘’李fi。一‘(2“‘。‘十甲)一i。i(2“。‘+甲)、乙、I了(t)、。一日’t’,in(2二r。t十,)上式就是我们要求的希尔伯特变换x的近似表达式。例3设信号x(t)为x(t)=b(t)g(t)(18)b(t)其中、g(t)的频谱B(f)、G(f)满足以下关系B(f)0】f}fi】f{f:,G(f)G(f)}f}簇fl}f}f;(19)Jj、.‘一一子!、‘一一、.产召工‘了、、Bf:为正常数。设x(t)、g(t)的希尔伯特变换为x(t)、s(t),则有x(t)=b(t)g(t)(20)现在我们要来证明关系式(20)。根据频谱的性质知,x(t)(见(18))的频谱为X(,)=B(,卜G“)二JG(‘)B(‘一‘)“按照(19)第二式有-口J一flG“)B“一‘,d‘+IG“,B“一‘)“~JJ枷.!甘川一一亡1X由(19)第一式知+.当,。日寸,IG(‘)B“一‘)“=“f1一资,当,。。‘,IG“,B(,一‘,d‘=。因此,对希尔伯特滤波频谱H(f)(见(13”有X(f)=H(f)X(f)+因一fl=H(‘)JG(‘)B“一‘)“+H“)JG“)B“一‘,“fl一.+饰一fl=一‘IG(‘)B(‘一‘)“+,JG“)B(‘一‘)“tl一co由于!引f:时G(幻=o,所以上式可写为十门艾(,)=JH“)G“)B“一‘,“一(口X(f)=B(f)*〔H(f)G(f)〕X(f)、B(f)、H(f)G(f)所对应的信号分别为x(t)、b(t)、g(t),由上式即知(20)式成立。创例4设信号x(t)为x(t)=a(t)eos(2兀fot+甲(t))(21)a(t)eos印(t)和a(t)Sin甲(t)的频谱在}f}fo时为o。则x(t)的希尔伯特变换x(t)为x(t)=a(t)sin(2兀fot+甲(t))现在来证明(22)式。由(21)知x(t)=a(t)eos甲(t)eosZ冗fot一a(t)sin甲(t)sinZ冗fot由例l知,eosZ兀f。t和sinZ兀f。t的希尔伯特变换分别为sinZ兀f。t和一eosZ二f。t,3,(23)式的希尔伯特变换为(22)(23)根据例x(t)=a(t)eos甲(t)sinZ兀fot+a(t)sin甲(t)eosZ兀fot=a(t)sin(2对ot+(p(t))此即(22)式。解析值号现在我们再回过头来讨论实信号x(t)的复信号q(t)。设x(t)为x(t)的希尔伯特变换,由(11)知q(t)=x(t)+ix(t)(24)其中x(t)和x(t)的相互关系由(12)和(17)确定。由复变函数论知,如果q(z)(其中z=t十主s)在t轴的上半平面解析,则在一定条件下,q(z)在t轴上的边界值q(t),其虚部Imq(t)是实部Req(t)的希尔伯特变换。由于这个原因,我们把复信号q(t)(见(24”称为解析信号,要注意的是,我们在这里借用解析这一名称,并不是要论证q(t)(24)为某个解析函数的边界值。由(7)式知,解析信号q(t)有个实质特性:q(t)的频谱Q(f)具有单边性,即Q(f)f0(25)of0了.夕、.、一一、,声.f人了‘、Q由(5)一(7)知,凡是频谱具有单边性(25)的信号,一定是解析信号。实连续信号的包络、瞬时相位和瞬时频率一个实连续信号x(t)经希尔伯特变换得到x(t),由此可构成一个解析信号q(t)=x(t)+ix(t)。解析信号q(t)对我们了解实信号x(t)的特点有什么帮助呢?我们先通过一种窄带信号来说明。一种窄带信号在工程中常可碰到如下一种窄带信号x(t)=a(t)eos(2兀fot+甲(t))(27)a(t)是描述振荡振幅变化的。当a(t)变化缓慢时,a(t)起到快速振荡函数eos(2对。t+甲(t))的包络作用。因此,a(t)称为窄带信号的包络。在余弦振荡函数eos(2二f。t+甲(t))中,我们令G(t)=2兀f。t+甲(t)(28)协(t)=ds(t)dt一2冗fo+d甲(t)dt(29)由于e(t)反映了瞬时变化的相位特点,因此,我们称6(t)为窄带信号x(t)的瞬时相位,当甲(t)变化缓慢或为常数时,由(29)可以看出,州t)=2过。。这表明,州t)反映了信号的频率特点。因此,我们称协(t)为窄带信号x(t)的瞬时频率。现在我们来讨论窄带信号x(t)的希尔伯特变换与窄带信号的包络、瞬时相位、瞬时频率的关系。我们假定窄带信号x(t)(见(27))中的a(t)、甲(t)、f。满足前述例4的条件。则由例4知,x(t)的希尔伯特变换为X(t)=a(t)sin(2对ot+甲(t))由(27)和(30)知(30).a(t)卜了XZ(t)+;2(t)一=2兀fot+甲(t)训一x(t)0(t)=aretg卜(t)ds(t)一dt一2兀fo+d甲(t)dt由上可知,窄带信号的包络、瞬时相位和瞬时频率,可以通过窄带信号的希尔伯特变换表示出来。实连续信号的包络、瞬时相位、瞬时组率对一般的信号x(t),它的希尔伯特变换为x(t),它的解析信号为q(t)=x(t)+ix(t)(31)令。(t)=.q(t)!=了产、沪2xZ(t)+x(t)(32)0(t)=aretgx(t)x(t)(33)林(t)=ds(t)dtdd「arctgx(t)x(t)(34)根据对窄带信号的分析,我们作如下定义:e(t)(见(32))称为X(t)的包络;0(t)(见(53))称为x(t)的瞬时相位,“(t)(见(34))称为x(t)的瞬时频率。由(31)一(33)知q(t)=】q(t)}e‘日‘”因而瞬时相位0(t)还可表示为0(t)=ImInq(t)瞬时频率还可表示为到(35),___dInq(t)林、t)=lmeeee,万丁一一一UL1=i】】】二奋丁二.qLI)dq(t)dt(36)2岛im一-了丫Otq(t)一q(t一△t)q(t)+q(t一△t)(37)公式(37)是瞬时频率卜(t)的近似计算公式。利用(34),我们还可得到瞬时频率的近似计算公式协(t)岛0(t)一0(t一△t)△t(38)实离散信号的希尔伯特变换和实离散信号的包络、瞬时相位、瞬时频率用计算机处理信号,必须把连续信号离散化。因此这一节讨论实离散信号的有关问题。实离散信号的希尔伯特变换实连续信一号x(t)的希尔伯特变换x(t),实际上是对x(t)滤波的结果(见(12)和(13)式)。我们知道,当、(t)有截频f。,抽样间隔△满足关系弃)fc时,为了求得载n△),‘一”’‘’”一‘一’‘’礴~‘、‘J叫””“”‘一’~‘一尹、“、2△一‘’‘’“‘一‘一”J’一“可以通过对离散信号x(n△)进行滤波来实现。设对连续信号滤波的滤波器频谱为H(f),则这时离散滤波器频谱H八(f)