2018版高中数学第二章数列习题课数列求和课件新人教A版

掌握数列求和的几种基本方法.学习目标栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝；当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q.知识梳理自主学习知识点数列求和的方法1.基本求和公式答案na1答案2.倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的.思考已知f(x)＝x1＋x，利用等差数列求和的方法求f(15)＋f(14)＋f(13)＋f(12)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________.答案解析设原式＝S，则S＝f(5)＋f(4)＋f(3)＋f(2)＋f(1)＋f(12)＋f(13)＋f(14)＋f(15)，∵f(n)＋f(1n)＝n1＋n＋1n1＋1n＝1，∴S＝4＋f(1)＝4＋12＝92.923.错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的.4.裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.裂项相消求和经常用到下列拆项公式:答案(1)1nn＋1＝1n－1n＋1；(2)12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1；(3)1n＋n＋1＝.n＋1－n5.分组求和法分组求和一般适用于两种形式：(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和；返回(2)通项公式为an＝bn，n为奇数，cn，n为偶数的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.6.并项求和法一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.题型探究重点突破题型一分组求和法例1在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.(1)求数列{an}的通项公式；解析答案解设等差数列{an}的公差为d.由已知得a1＋d＝4，a1＋3d＋a1＋6d＝15，解得a1＝3，d＝1.所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.(2)设bn＝2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值.解析答案反思与感悟解由(1)可得bn＝2n＋n，所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)＝21－2101－2＋1＋10×102＝(211－2)＋55＝211＋53＝2101.an－2跟踪训练1已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通项公式；解(1)设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q，∴{bn}的通项公式bn＝b1qn－1＝3n－1，又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27，∴1＋(14－1)d＝27，解得d＝2.∴{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n＝1，2，3，…)．由b2＝b1q＝3，b3＝b1q2＝9得b1＝1，q＝3.解析答案(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．解设数列{cn}的前n项和为Sn.∵cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1，∴Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n－1＋3n－1＝2(1＋2＋…＋n)－n＋30×（1－3n）1－3＝2×（n＋1）n2－n＋3n－12＝n2＋3n－12.即数列{cn}的前n项和为n2＋3n－12.解析答案题型二错位相减法求和例2设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；解析答案解设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由S4＝4S2，a2n＝2an＋1得4a1＋6d＝8a1＋4d，a1＋2n－1d＝2a1＋2n－1d＋1，解得a1＝1，d＝2，因此an＝2n－1，n∈N*.解析答案反思与感悟(2)设数列{bn}满足b1a1＋b2a2＋…＋bnan＝1－12n，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn.解析答案跟踪训练2数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*).(1)求数列{an}的通项an；解析答案(2)求数列{nan}的前n项和Tn.题型三裂项相消求和解析答案反思与感悟例3求数列112＋2，122＋4，132＋6，142＋8，…的前n项和.解因为通项an＝1n2＋2n＝12(1n－1n＋2)，所以此数列的前n项和Sn＝12[(1－13)＋(12－14)＋(13－15)＋…＋(1n－1－1n＋1)＋(1n－1n＋2)]＝12(1＋12－1n＋1－1n＋2)＝34－2n＋32n＋1n＋2.解析答案跟踪训练3正项数列{an}满足－(2n－1)an－2n＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；解由a2n－(2n－1)an－2n＝0，得(an－2n)(an＋1)＝0.由于{an}是正项数列，所以an＝2n.a2n解析答案解由an＝2n，bn＝1n＋1an，得bn＝12nn＋1＝12(1n－1n＋1).所以Tn＝12(1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＋1n－1n＋1)＝12(1－1n＋1)＝n2n＋1.题型四并项求和法例4求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1).解析答案反思与感悟跟踪训练4已知{an}是等比数列，前n项和为Sn(n∈N*)，且1a1－1a2＝2a3，S6＝63.(1)求{an}的通项公式；解(1)设数列{an}的公比为q.由已知，有1a1－1a1q＝2a1q2，解得q＝2或q＝－1.又由S6＝a1·1－q61－q＝63，知q≠－1，所以a1·1－261－2＝63，得a1＝1.所以an＝2n－1.解析答案(2)若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an＋1的等差中项，求数列{(－1)nb2n}的前2n项和．解由题意，得bn＝12(log2an＋log2an＋1)＝12(log22n－1＋log22n)＝n－12，即{bn}是首项为12，公差为1的等差数列．设数列{(－1)nb2n}的前n项和为Tn，则T2n＝(－b21＋b22)＋(－b23＋b24)＋…＋(－b22n－1＋b22n)＝b1＋b2＋b2＋b4＋…＋b2n－1＋b2n＝2n（b1＋b2n）2＝2n2.解析答案∴f(12)＝2－12n－1－n2n＝2－n＋22n.解析答案错位相减法易错点误区警示返回解f(12)＝12＋2×122＋3×123＋…＋n×12n，①∴12f(12)＝122＋2×123＋3×124＋…＋n×12n＋1，②∴①－②得，12f(12)＝12＋122＋123＋…＋12n－n2n＋1＝1－12n－n2n＋1，当堂检测12341.设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1＝0，cn＝an＋bn，若数列{cn}是1,1,2，…，则数列{cn}的前10项和为()A.978B.557C.467D.979解析答案12342.1002－992＋982－972＋…＋22－12的值是()A.5000B.5050C.10100D.20200解析对相邻两项由平方差公式得，原式＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.B解析答案12343.数列{an}的通项an＝n·2n，数列{an}的前n项和Sn为()A.n·2n＋1B.n·2n＋1－2C.(n－1)·2n＋1＋2D.n·2n＋1＋2C解析答案1234解析答案4.数列112，214，318，4116，…的前n项和为()A.12(n2＋n＋2)－12nB.12n(n＋1)＋1－12nC.12(n2－n＋2)－12nD.12n(n＋1)＋1－12n课堂小结求数列前n项和，一般有下列几种方法1．公式法：适用于已知类型为等差或等比数列的求和．2．错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．3．分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．4．裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．5．奇偶并项：当数列通项中出现(－1)n或(－1)n＋1时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论．6．倒序相加：例如等差数列前n项和公式的推导方法．返回本课结束