概率论与数理统计(古典概型与几何概型)

1.3古典概型与几何概型1.3.1排列与组合公式1.排列从n个不同元素中任取r个元素排成一列（考虑元素先后出现次序），称此为一个排列，此种排列的总数为若r=n，则称为全排列,全排列的总数为An=n!．)!(!)1()1(rnnrnnnArn第1章概率论基础2.重复排列从n个不同元素中每次取出一个，放回后再取出下一个，如此连续取r次所得的排列称为重复排列，此种重复排列数共有nr个，这里r允许大于n．1.3.1排列与组合公式3.组合从n个不同元素中任取r个元素并成一组（不考虑元素先后出现次序），称为一个组合，此种组合的总数为易知，．排列组合公式在古典概型的概率计算中经常使用．)!(!!!)1()1(rnrnrrnnnCrn!rCArnrnrnnrnCC1.3.1排列与组合公式1.3.2古典概型具有以下两个特点的试验称为古典概型：(1)有限性：试验的样本空间只含有限个样本点；(2)等可能性：试验中每个基本事件发生的可能性相同．1.3古典概型与几何概型设试验E的样本空间由n个样本点构成，A为E的任意一个事件，且包含m个样本点，则事件A出现的概率记为:2.古典概型中事件概率的计算公式.)(样本点总数所包含样本点的个数AnmAP称此为概率的古典定义.【例1.5】（摸球问题）箱中盛有个白球和个黑球，从其中任意地接连取出k+1个球(k+1+)，如果每个球被取出后不再放回，试求最后取出的球是白球的概率．1.3.2古典概型解：由于注意了球的次序，故应考虑排列．接连不放回地取k+1个球的所有结果共有个，即样本空间中共有个样本点．最后取出的白球可以是个白球中的任一个，共有种取法，其余k个可以是其余+–1个的任意k个，共有种取法，因而事件A=“取出的k+1球中最后一个是白球”中共含有个样本点，于是．1kA1kAkA1kA111)(kkAAAP于是与k无关！1.3.2古典概型【例1.6】（分房问题）有n个人，每个人都以同样的概率被分配在N（nN）间房中的每一间中，试求下列各事件的概率：(1)A=“某指定n间房中各有一人”；(2)B=“恰有n间房，其中各有一人”；(3)C=“某指定房中恰有m(mn)人”．1.3.2古典概型解：因为每个人都可以分配到N间房中任一间，所以n个人分配房间的方式共有Nn种，即样本空间中所有样本点的个数为Nn．(1)A=“某指定n间房中各有一人”，“某指定n间房中各有一人”的分配方法共有n!种，因而事件A中含有n!个样本点，于是nNnAP!)(1.3.2古典概型(2)B=“恰有n间房，其中各有一人”这n间房可自N间中任意选出，共有种选法，因而事件B中含有个样本点，于是nNC!nCnNnnNNnCBP!)()!(!nNNNn1.3.2古典概型(3)C=“某指定房中恰有m(mn)人”事件C中的m个人可自n个人中任意选出,共有种选法，其余n–m个人可以任意分配在其余N–1间房里，共有个分配法，因而事件C中有个样本点，于是mnCmnN)1(mnmnNC)1(nmnmnNNCCP)1()(mnmmnNNNC1)1(1.3.2古典概型课堂练习1o电话号码问题在7位数的电话号码中,第一位不能为0，求数字0出现3次的概率.2o骰子问题掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的概率.)109913619:(633p答案)63:(3p答案2o生日问题某班有20个学生都是同一年出生的,求有10个学生生日是1月1日,另外10个学生生日是12月31日的概率.)92:(答案)36510101020:(20p答案课堂练习1o分房问题将张三、李四、王五3人等可能地分配到3间房中去,试求每个房间恰有1人的概率.例3在1~2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?设A为事件“取到的数能被6整除”,B为事件“取到的数能被8整除”，则所求概率为).(BAP)()(BAPBAP)(1BAP)}.()()({1ABPBPAP解,33462000333因为,2000333)(AP所以,8424200083由于.200083)(ABP得于是所求概率为)(BAP200083200025020003331)}()()({1ABPBPAP.43.2000250)(BP故得,25082000由于例5某接待站在某一周曾接待过12次来访,已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的.假设接待站的接待时间没有规定,且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的.解周一周二周三周四周五周六周日.712种12341277777故一周内接待12次来访共有.212种121272p.3000000.0小概率事件在实际中几乎是不可能发生的,从而可知接待时间是有规定的.周一周二周三周四周五周六周日周二周四1234122222212次接待都是在周二和周四进行的共有故12次接待都是在周二和周四进行的概率为182005河南理工大学精品课程概率论与数理统计小概率事件在一次具体试验中几乎是不会发生的.[统计推断原理]小概率事件在大量重复试验中几乎是必然发生的.关于小概率事件的重要结论于是,上面的例题就可利用统计推断原理对某种假设作出判断（接受或拒绝），这在数理统计的假设检验中是非常有用的。例6假设每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于1/365,求64个人中至少有2人生日相同的概率.64个人生日各不相同的概率为.365)164365(364365641p故64个人中至少有2人生日相同的概率为64365)164365(3643651p.997.0解率为概他们的生日各不相同的个人随机选取,)365(n.365)1365(364365nnp日相同的概率为个人中至少有两个人生而n.365)1365(3643651nnp说明我们利用软件包进行数值计算.222005河南理工大学精品课程概率论与数理统计理解题意：分析随机试验的基本事件，构造尽可能简单的等可能的样本空间，特别是不同方法求解时，必须在同一样本空间中进行计算；设好事件:一般在理解题意前提下，设出一些简单事件，使其它复杂事件能利用简单事件的关系与运算表达出来；正确计数：计算样本点总数[基本事件总数]和事件所含样本点总数[有利场合数]，避免计数的重复或遗漏。常用到排列、组合、乘法原理和加法原理等知识。计算古典概率的基本思路232005河南理工大学精品课程概率论与数理统计利用公式:常用古典概率计算公式、对立事件概率公式、加法公式、全概公式、贝叶斯公式、乘法公式等。注意模型：解题时注意模型化，抓住问题本质。1.3.3几何概型具有以下两个特点的试验称为几何概型：(1)随机试验的样本空间为某可度量的区域；(2)中任一区域出现的可能性的大小与该区域的几何度量成正比而与该区域的位置和形状无关．1.3古典概型与几何概型对于几何概型，若事件A是中的某一区域，且A可以度量，则事件A的概率为其中，如果是一维、二维或三维的区域，则的几何度量分别是长度、面积和体积．的几何度量的几何度量AAP)(1.3.3几何概型说明当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概型.那么.0,0TyTx两人会面的充要条件为,tyx例7甲、乙两人相约在0到T这段时间内,在预定地点会面.先到的人等候另一个人,经过时间t(tT)后离去.设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵连.求甲、乙两人能会面的概率.会面问题解,,时刻的分别为甲、乙两人到达设yx故所求的概率为正方形面积阴影部分面积p222)(TtTT.)1(12Ttxoytxytyx若以x,y表示平面上点的坐标,则有tTT蒲丰投针试验例91777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针试验问题.平面上画有等距离为a(a0)的一些平行直线,现向此平面任意投掷一根长为b(ba)的针,试求针与某一平行直线相交的概率.解,,直线的距离到最近的一条平行针的中点表示针投到平面上时　　以MxaxM.夹角表示针与该平行直线的.),(完全确定置可由那么针落在平面上的位x蒲丰资料axM矩形区域果与投针试验的所有可能结}π0,20),{(axxS.中的所有点一一对应由投掷的任意性可知,这是一个几何概型问题.中的点满足发生的充分必要条件为针与某一平行直线相交所关心的事件SA}{.π0,sin20bxo的面积的面积SGSGAP)(μ)(μ)(π2dsin2π0ab.π2π2ababo蒲丰投针试验的应用及意义π2)(abAP那么的近似值代入上式作为即可则频率值的次数测出针与平行直线相交很大时当投针试验次数　　根据频率的稳定性,)(,,,APnmmnπ2abnm.2πambn.π的近似值利用上式可计算圆周率历史上一些学者的计算结果(直线距离a=1)3.179585925200.54191925Reina3.1415929180834080.831901Lazzerini3.159548910300.751884Fox3.1373826001.01860DeMorgan3.1554121832040.61855Smith3.1596253250000.81850Wolf相交次数投掷次数针长时间试验者的近似值π利用蒙特卡罗(MonteCarlo)法进行计算机模拟..85.0,1ba取单击图形播放/暂停ESC键退出342005河南理工大学精品课程概率论与数理统计将几何概型的结果转化为某个可度量是几何区域S[直线、平面或空间等]中随机点来确定，找出事件A发生相应的区域SA；计算样本空间S和随机事件SA的几何测度[长度、面积、体积等]；利用几何概率公式计算A的概率。计算几何概率的基本思路最简单的随机现象古典概型古典概率样本点总数所包含样本点的个数AnmAP)(几何概型试验结果连续无穷四、小结