导数专题(三)零点问题教师版

导数专题（三）——零点问题（2013昌平二模理）（18）（本小题满分13分）（零点问题）已知函数21()ln(0).2fxxaxa（Ⅰ）若2,a求()fx在(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）求()fx在区间[1,e]上的最小值；（III）若()fx在区间(1,e)上恰有两个零点，求a的取值范围.（18）（本小题满分13分）解：（I）2,a212()2ln,'(),2fxxxfxxx1'(1)1,(1),2ff()fx在(1,(1))f处的切线方程为2230.xy………………………..3分（Ⅱ）由2'().axafxxxx由0a及定义域为(0,)，令'()0,.fxxa得①若1,01,aa即在(1,e)上，'()0fx，)(xf在[1,e]上单调递增，因此,()fx在区间[1,e]的最小值为1(1)2f.②若21e,1e,aa即在1,)a（上，'()0fx，)(xf单调递减；在,e)a（上，'()0fx，)(xf单调递增，因此()fx在区间[1,e]上的最小值为1()(1ln).2faaa③若2e,e,aa即在(1,e)上，'()0fx，)(xf在[1,e]上单调递减，因此,()fx在区间[1,e]上的最小值为21(e)e2fa.综上，当01a时，min1()2fx；当21ea时，min1()(1ln)2fxaa；当2ea时，2min1()e2fxa.……………………………….9分(III)由（II）可知当01a或2ea时，)(xf在(1,e)上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点.当21ea时，要使()fx在区间(1,e)上恰有两个零点，则∴21(1ln)0,21(1)0,21(e)e0,2aaffa即2e1e2aa，此时，21ee2a.所以，a的取值范围为21(e,e).2…………………………………………………………..13分（2014西城期末理）18．（本小题满分13分）（零点问题）已知函数()()exfxxa，其中e是自然对数的底数，aR.（Ⅰ）求函数)(xf的单调区间；（Ⅱ）当1a时，试确定函数2()()gxfxax的零点个数，并说明理由.18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为()()exfxxa，xR，所以()(1)exfxxa．………………2分令()0fx，得1xa．………………3分当x变化时，()fx和()fx的变化情况如下：x(,1)a1a(1,)a()fx0()fx↘↗………………5分故()fx的单调减区间为(,1)a；单调增区间为(1,)a．…………6分（Ⅱ）解：结论：函数()gx有且仅有一个零点.………………7分理由如下：由2()()0gxfxax，得方程2exaxx，显然0x为此方程的一个实数解.所以0x是函数()gx的一个零点.………………9分当0x时，方程可化简为exax.设函数()exaFxx，则()e1xaFx，令()0Fx，得xa．当x变化时，()Fx和()Fx的变化情况如下：x(,)aa(,)a()Fx0()Fx↘↗即()Fx的单调增区间为(,)a；单调减区间为(,)a．所以()Fx的最小值min()()1FxFaa.………………11分因为1a，所以min()()10FxFaa，所以对于任意xR，()0Fx，因此方程exax无实数解．所以当0x时，函数()gx不存在零点.综上，函数()gx有且仅有一个零点.………………13分（2015上学期期末丰台理）18.（本小题共13分）（图像交点、问题转化）已知函数()e1xfxx．（Ⅰ）求函数()fx的极小值；（Ⅱ）如果直线1ykx与函数()fx的图象无交点，求k的取值范围．18.解：（Ⅰ）函数的定义域为R．因为()1xfxxe，所以1()xxefxe．令()0fx，则0x．x(,0)0(0,)()fx-0+()fx↘极小值↗所以当0x时函数有极小值()=(0)0fxf极小值．………………6分（Ⅱ）函数1()1xfxxe．当0x时01()010fxe，011yk，所以要使1ykx与()fx无交点，等价于()1fxkx恒成立．令1()1(1)xgxxkxe，即()(1)xgxkxe，所以(1)1()xxkegxe．①当1k时，1()0xgxe，满足1ykx与()fx无交点；②当1k时，111111()(1)111kkgkeekk，而101k，111ke，所以1()01gk，此时不满足1ykx与()fx无交点．③当1k时，令(1)1()0xxkegxe，则ln(1)xk，当(,ln(1))xk时，()0gx，()gx在(,ln(1))k上单调递减；当(ln(1),)xk时，()0gx，()gx在(ln(1),)k上单调递增；当ln(1)xk时，min()(ln(1))(1)(1ln(1))gxgkkk．由(1)(1ln(1))0kk得11ek，即1ykx与()fx无交点．综上所述当(1,1]ke时，1ykx与()fx无交点．……………13分（2016东城上学期期末理）（19）（本小题共14分）（零点，问题转化）已知函数()(ln)xefxaxxx．（Ⅰ）当1a时，试求()fx在(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）当0a时，试求()fx的单调区间；（Ⅲ）若()fx在(0,1)内有极值，试求a的取值范围．解：（Ⅰ）当1a时，/2e(1)1()1xxfxxx，/(1)0f，(1)e1f．方程为e1y．…………………4分（Ⅱ）2e(1)1()(1)xxfxaxx2e(1)(1)xxaxxx，2(e)(1)xaxxx．当0a时，对于(0,)x，e0xax恒成立，所以'()0fx1x；'()0fx01x0.所以单调增区间为(1,)，单调减区间为(0,1)．…………………8分（Ⅲ）若()fx在(0,1)内有极值，则'()fx在(0,1)x内有解．令'2(e)(1)()0xaxxfxxe0xaxexax.设e()xgxx(0,1)x,所以'e(1)()xxgxx,当(0,1)x时，'()0gx恒成立，所以()gx单调递减.又因为(1)eg，又当0x时，()gx,即()gx在(0,1)x上的值域为(e,),所以当ea时，'2(e)(1)()0xaxxfxx有解.设()exHxax，则()e0xHxa(0,1)x，所以()Hx在(0,1)x单调递减.因为(0)10H，(1)e0Ha,所以()exHxax在(0,1)x有唯一解0x.所以有：x0(0,)x0x0(,1)x()Hx0'()fx0()fx]极小值Z所以当ea时，()fx在(0,1)内有极值且唯一.当ea时，当(0,1)x时，'()0fx恒成立，()fx单调递增，不成立．综上，a的取值范围为(e,)．…………………14分（2015海淀一模理）（18）（本小题满分13分）（问题转化、零点）已知函数1()ln(0)fxaxax.（Ⅰ）求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）若{()0}[,]xfxbc（其中bc），求a的取值范围，并说明[,](0,1)bc.（18）（共13分）解：（Ⅰ）2211'()(0)aaxfxxxxx.………………2分（ⅰ）当0a时，'()0fx，则函数()fx的单调递减区间是(0,).………………3分（ⅱ）当0a时，令'()0fx，得1xa.当x变化时，'()fx,()fx的变化情况如下表x1(0,)a1a1(,)a'()fx0()fx↘极小值↗所以()fx的单调递减区间是1(0,)a，单调递增区间是1(,)a.………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当0a时，函数()fx在区间(0,)内是减函数，所以，函数()fx至多存在一个零点，不符合题意.………………6分当0a时，因为()fx在1(0,)a内是减函数，在1(,)a内是增函数，所以要使{()0}[,]xfxbc，必须1()0fa，即1ln0aaa.所以ea.………………7分当ea时，222211()ln()2ln(2ln)faaaaaaaaaa.令()2ln(e)gxxxx，则22'()1(e)xgxxxx.当ex时，'()0gx，所以，()gx在[e,)上是增函数.所以当ea时，()2ln(e)e20gaaag.所以21()0fa.………………9分因为2111aa，1()0fa，(1)10f，所以()fx在211(,)aa内存在一个零点，不妨记为b，在1(,1)a内存在一个零点，不妨记为c.………………11分因为()fx在1(0,)a内是减函数，在1(,)a内是增函数，所以{()0}[,]xfxbc.综上所述，a的取值范围是(e,+).………………12分因为211(,)baa，1(,1)ca，所以[,](0,1)bc.………………13分（2015海淀上学期期末）（19）（本小题满分13分）（零点、三角函数）已知函数()cossinfxaxxx，ππ[,]22x.（Ⅰ）判断函数()fx的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）求集合{|()0}Axfx中元素的个数；（Ⅲ）当12a时，问函数()fx有多少个极值点？（只需写出结论）（19）（共13分）解：（Ⅰ）函数()fx是偶函数，证明如下：………………1分对于ππ[,]22x，则ππ[,]22x.………………2分因为()cos()sin()cossin()fxaxxxaxxxfx，所以()fx是偶函数.………………4分（Ⅱ）当0a时，因为()cossin0fxaxxx，ππ[,]22x恒成立，所以集合{|()0}Axfx中元素的个数为0.………………5分当0a时，令()sin0fxxx，由ππ[,]22x，得0x.所以集合{|()0}Axfx中元素的个数为1.………………6分当0a时，因为π'()sinsincos(1)sincos0,(0,)2fxaxxxxaxxxx，所以函数()fx是π[0,]2上的增函数.………………8分因为ππ(0)0,()022faf，所以()fx在π(0,)2上只有一个零点.由()fx是偶函数可知，集合{|()0}Axfx中元素的个数为2.………………10分综上所述，当0a时，集合{|()0}Axfx中元素的个数为0；当0a时，集合{|()0}Axfx中元素的个数为1；当0a时，集合{|()0}Axfx中元素的个数为2.（Ⅲ）函数()fx有3个极值点.………………13分