3。2-正规子群与商群

§3.2正规子群与商群对一般的群G及NG，左、右陪集不一定相等，即一般aNNa，（见上一章例子，3,{(1),(12)}GSN，(13)(13)NN）。但对某些群G及其子群NG，总有性质：,aGaNNa。例如，取3,GS3{(1),(123),(132)},NAG则当a取3(1),(123),(132)A时，总有aNNa。而当a取(12),(13),(23)时，(12){(12),(23),(13)}(12)NN，(13){(13),(23),(12)}(13)NN，(23){(23),(13),(12)}(23)NN，所以3aGS，都有aNNa。再比如，交换群的子群总满足上述性质。1.正规子群的定义：设G是群，NG，若,aGaNNa有，则称N是G的正规子群（Normalsubgroup），记作NG。由前面，3A是3S的正规子群：33.AS交换群的子群都是正规子群；任何群的中心()CG都是G的正规子群：()CGG。{}e和G总是G的正规子群，称为平凡正规子群，其余的正规子群称为非平凡正规子群。2.正规子群的判定及性质定理1.设NG，则1,NGaGaNaN有；,,aGxN都有1.axaN例1证明：n次交错群nA是n次对称群nS的正规子群：nnAS。例2.设(){|(),||0}nnGGLRAAMRA且，(){|||1}nNSLRAARA，且，证明：NG。证明：,XGAN，则111||||||||||||||||1,XAXXAXXAXA从而，1XAXN，所以NG。例3证明：44(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)KS。证明：注意，4K中除单位元之外其余3个元素是4S中仅有的2阶偶置换。现44,xKS，则1x的阶为2且是偶置换，从而14xK，故44KS。Note:由,HKKNHN，即子群具有传递性。但正规子群不具有传递性，即由,HKKN推不出HN。例如，由例3，44KS。现取44(1),(12)(34)BK，由于4K是交换群，显然有44BK。但是4B不是4S的正规子群，因为取4(13)S，有44(13)(13),(1234)(13),(1432)(13)BB。上一章有：一个群的两个子群的乘积不一定是子群，但是下面定理表明：两个正规子群的乘积还是正规子群。定理2.（1）设NG，HG，记{|,}NHnhnNhH，则NHG；（2）若NG，HG，则.NHG证明（1）注意NHGNHHN。(,)nhNHnNhH，由NG有hNNh，故nhNhhNHN，从而NHHN。同理可证HNNH。所以NHHN，NHG。（2）首先由（1）NHG。其次，aG，有()()()()()()aNHaNHNaHNaHNHaNHa，所以.NHG定理3设:fGG是群G到群G的满同态，则（1）()NGfNG，即正规子群的像还是正规子群；（2）1()NGfNG，即正规子群的逆像还是正规子群。证明（1）设NG，有上一节有()fNG。再(),,nfNaG由f满射有,,nNaG使得(),()nfnafa。于是1111()()()()()()()anafafnfafafnfafana。由于NG，所以1anaN，从而1()anafN，即()fNG。（2）可类似证明，见上一节。3.商群定义：设NG，用GN表示N在G中的全部陪集的集合（不分左、右），即{|}GaHaGH。在GN中定义运算如下：,,GaNbNN规定((()aNbNabN））=。定理4.GN关于上面定义的运算构成群，叫做G对N的商群。其中，GN的单位元为eNN；11()aNaN。例4.设4{,,,}GKeabc，取{,}Nea，则可验证：NG（G交换群），此时{,,,}{,},{,}GeNaNbNcNeabcN。{,}ea是GN的单位元，{,}{,}{,}eabcbc；{,}{,}{,}bcbcea。例5.设,nGS,nNA则{,}nnnnSABA，其中nB是全体奇置换的集合。nA是nnSA的单位元，nnnABB，nnnBBA注意，nB可以写成(12).nnBA注意：在商群GN中，aG，有()kkaNaN；||(:)GGNN；对有限群还有||||(:)||GGGNNN。商群的应用定理5设G是一个pn阶的有限交换群，其中p是素数，则G有p阶元，从而G有p阶子群。证明对n用数学归纳法。当1n时，G是p阶循环群，G的非单位元都是p阶元，定理成立。假设定理对阶数为(1)pkkn的有限交换群成立，以下证对阶数为pn的有限交换群也成立。aG且ae。（1）若||pa，令||aps，则||sap，saG，sa是G的一个p阶元，定理成立。（2）若p不整除||a，记||am，则1,(,)1mmp。由于||||aG，即|mpn，所以|mn。令Ha，由G交换群得HG，且||||GnGpHHm。此时GH是一个(1)npkknm阶的有限交换群。由归纳假设，GH存在p阶元，设为()bHbG，||bHp。令||br，则()rrbHbHeHH，从而|pr。设rpt，由||brpt得||tbp，tb是G的一个p阶元，定理成立。推论pq(,pq为互异素数)阶交换群必为循环群。证明设||Gpq，G交换群。由定理5，G有p阶元a和q阶元b。又因为,pq为互异素数，且abba，所以||||abpqG，从而G是由ab生成的循环群。例如，623阶交换群只能是6阶循环群；1025阶交换群只能是10阶循环群，…。注意：推论对非交换群不成立。例如3||623S，3S不是循环群.4.哈密尔顿群与单群介绍（1）哈密尔顿群：如果G是一个非交换群，且G的每个子群都是正规子群，则称G是一个哈密尔顿群。例6四元数群81,,,,1,,,Qijkijk是哈密尔顿群。证明首先8Q是非交换群。其次由Lagrange定理及其推论，可以找出8Q的真子群只有1,1，1,1,,ii，1,1,,jj，1,1,,kk。其中1,1显然是8Q的正规子群。对1,1,,Nii，不难检验1,,,,1,,,xijkijk，xNNx恒成立，所以1,1,,ii是8Q的正规子群。同理，1,1,,jj，1,1,,kk也是8Q的正规子群。从而8Q是哈密尔顿群。注意：1，2，3，5，7阶群都是循环群，因而是交换群，从而都不是哈密尔顿群。再由上一节例3和习题，4阶和6阶群也都不是哈密尔顿群。因此，例4表明，四元数群8Q（8阶）是阶数最小的哈密尔顿群。（2）单群：阶数大于1且只有平凡正规子群的群称为单群（交换非交换都可以）。例如，素数阶的群一定是单群。另外，由例3得交错群4A不是单群，因为44KA。而23,AA（1阶，3阶）显然是单群。又当5n时，可以证明nA都是单群（证明略）。这样，4A是所有交错群中唯一的非单群。另外还可以证明：当3n且4n时，nS的正规子群只有{(1)}，nA和它自己nS，这样nS几乎是单群（仅有一个非平凡正规子群）。单群可以分为交换单群和非交换单群两大类。其中有限交换单群的结构非常简单，即定理6有限交换群G是单群当且仅当它是素数阶的循环群。证明首先，素数阶的循环群一定是单群。反之，设G是一个有限交换单群且||1Gn。aG且ae，若||an，由于G是交换群，所以由a生成的子群a是G的一个非平凡正规子群，这与G是单群矛盾。因此必有||an，这样G是一个n阶循环群。再由循环群的子群定理，n必为素数。（否则，n的每个正因子都对应一个真子群，与G是单群矛盾）。这样G只能是素数阶的循环群。非交换单群的确定远比交换单群复杂。