§1.1--变化率与导数

§1.1变化率与导数佛山一中李维本章导引一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立与自然科学中四类问题的处理直接相关：本章导引导数是微积分的核心概念之一。它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．变化率问题姚明身高变化曲线图(部分)2.262.12●●●●●●年龄身高47101316●19220.81.61●●●●●●●实例分析在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态,那么:v在0≤t≤0.5这段时间里,在1≤t≤2这段时间里,(0.5)(0)4.05(m/s);0.50hhv(2)(1)8.2(m/s);21hhv2()4.96.510httt平均变化率式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.2121()()fxfxxx令△x=x2–x1,△y=f(x2)–f(x1),则【注意】△x是一个整体符号，而不是△与x相乘.可把△x看作是自变量的“增量”.△x,△y均可正、可负，但一般规定△x≠0.2121()()fxfxyxxx平均变化率的几何意义观察函数f(x)的图象，平均变化率表示什么?121()()fxfxxx2xyoBx2f(x2)Ax1f(x1)f(x2)-f(x1)x2-x1割线AB的斜率y=f(x)练习感悟：一般地，函数f(x)在x=x0附近的平均变化率与既与x0有关，也与△x有关.练习：求函数y=x2在x=x0附近的平均变化率.2x0+△x计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?探究65049t探究探究过程：结合图形可知，，所以，)0()4965(hh65()(0)49065049hhvthO65496598t用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.又如何求瞬时速度呢?求：运动员在2s附近很短一段时间内平均速度(2)(2)13.14.9hvththtt瞬时速度△t0时,在[2+△t,2]这段时间内△t0时,在[2,2+△t]这段时间内1.139.4tv1.139.4tv13.051v当△t=–0.01时,13.149v当△t=0.01时,0951.13v当△t=–0.001时,1049.13v当△t=0.001时,13.09951v当△t=–0.0001时,13.10049v当△t=0.0001时,099951.13v△t=–0.00001,100049.13v△t=0.00001,13.0999951v△t=–0.000001,13.1000049v△t=0.000001,…………瞬时速度当△t趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近与一个确定的值–13.1.从物理的角度看,时间间隔|△t|无限变小时,平均速度就无限趋近于t=2时的瞬时速度.因此,运动员在t=2时的瞬时速度是–13.1.v表示“当t=2,△t趋近于0时,平均速度趋近于确定值–13.1”.v0(2)(2)lim13.1ththt函数的瞬时变化率1.运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示?2.函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示?000200000()()lim4.9()(9.86.5)limlim(4.99.86.5)9.86.5ttthtthttttttttt导数的定义函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作或,即0000(Δ)()limlimxxfxxfxyxx0|xxy0()fx0000(Δ)()()lim.xfxxfxfxx0001.()fxxx与的值有关，不同的其导数值一般也不相同。02.()fxx与的具体取值无关。3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。导数的定义设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近0时，比值ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx无限趋近于一个常数A，这个常数A就是函数f(x)在点x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0．用符号语言表达为f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx．导数的定义【注意】(1)某点导数即为函数在这点的变化率．某点导数概念包含着两层含义：①limΔx→0ΔyΔx存在，则称f(x)在x＝x0处可导并且导数即为极限值；②limΔx→0ΔyΔx不存在，则称f(x)在x＝x0处不可导．(2)Δx称为自变量x的增量，Δx可取正值也可取负值，但不可以为0．导数的定义(3)令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0，于是f′(x0)＝limx→x0fx－fx0x－x0与定义中的f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx意义相同．导数的定义1.函数f(x)=|x|在点x=0处是否有导数？若有，求出来；若没有，请说明理由.2.求函数在某一点处的导数例1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第xh时,原油的温度(单位:℃)为f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).计算第2h和第6h,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.C解:在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是和2(2)(2)4()73fxfxxxxxx根据导数的定义,所以,同理可得(2)f(6)f00(2)limlim(3)3.xxyfxx(6)5.f