1.3.1函数的单调性与导数

陈瑞祺中学高二数学组（4）.对数函数的导数:.1)(ln)1(xx.ln1)(log)2(axxa（5）.指数函数的导数:.)()1(xxee).1,0(ln)()2(aaaaaxxxxcos)(sin1）（（3）.三角函数：xxsin)(cos2）（（1）常函数：(C)/0,(c为常数)；（2）幂函数：(xn)/nxn1一复习回顾：1.基本初等函数的导数公式23232(1);(2);1(3);(4);(5)4.96.510(6)23121yxyxyxyxyxxyxxx求下列函数的导数:函数y=f(x)在给定区间G上，当x1、x2∈G且x1＜x2时yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在G上是增函数；2）都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在G上是减函数；若f(x)在G上是增函数或减函数，则f(x)在G上具有严格的单调性。G称为单调区间G=(a,b)二、复习引入:(1)函数的单调性也叫函数的增减性；(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概念。这个区间是定义域的子集。(3)单调区间：针对自变量x而言的。若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间；若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1x2的前提下,比较f(x1)f(x2)的大小,在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.观察:下图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数的图象,图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数的图象.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?105.69.4)(2ttth()9.86.5vttaabbttvhOO①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,.0)()(thtv②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,.0)()(thtv(1)(2)xyOy=x论由此你得到一个什么结；的导数函数）的单调性是，；在（的导数函数）的单调性是，在（、函数；的导数函数）的单调性是，；在（的导数函数）的单调性是，在（、函数的导数函数）的单调性是，在（、函数的导数函数）的单调性是，在（、函数思考：0100101400003020122233xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyOy=x2xyOy=x3xyOxy1观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.xyOy=xxyOy=x2xyOy=x3xyOxy1观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.在某个区间(a,b)内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.0)(xf)(xfy0)(xf)(xfyox1y1.在x＝1的左边函数图像的单调性如何？2.在x＝1的左边函数图像上的各点切线的倾斜角为(锐角/钝角)?他的斜率有什么特征？3.由导数的几何意义，你可以得到什么结论？4.在x＝1的右边时，同时回答上述问题。1)如果恒有f′(x)0，那么y=f（x)在这个区间（a,b)内单调递增；2)如果恒有f′(x)0，那么y=f（x）在这个区间(a,b)内单调递减。一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内定理aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)0f'(x)0如果在某个区间内恒有,则为常数.0)(xf)(xf例1已知导函数的下列信息:当1x4时,当x4,或x1时,当x=4,或x=1时,)(xf;0)(xf;0)(xf.0)(xf试画出函数的图象的大致形状.)(xf解:当1x4时,可知在此区间内单调递增;,0)(xf)(xf当x4,或x1时,可知在此区间内单调递减;,0)(xf)(xf当x=4,或x=1时,.0)(xf综上,函数图象的大致形状如右图所示.)(xfxyO14练习：已知导函数的下列信息：23'()0;32'()0;32'()0.xfxxxfxxxfx当时，当或时，当或时，试画出函数图像的大致形状。()fx分析：()fx在此区间递减()fx在此区间递增()fxx图像在此两处附近几乎没有升降变化,切线平行轴解：的大致形状如右图：()fxABxyo23()yfxxyo12()yfx(A)xyo12()yfx(B)xyo12()yfx(C)xyo12()yfx(D)C设是函数的导函数，的图像如右图所示,则的图像最有可能的是()()fx'()fx'()yfx()yfx变式训练:xyo'()yfx21''()()()()yxfxfxfxyfx问题：已知函数的图象如图（其中是的导函数）下列四个图象中的图象大致是（）x-11-22-1-212yＣＡＢＣＤ-２-１-１２-２２１-２１-１-１为增函数时，当为减函数时，当为减函数时，当为增函数时，当)(,0)(,0)(1)(,0)(,0)(0)(,0)(,0)(01)(,0)(,0)(1////////xfxfxxfxxfxfxxfxxfxfxxfxxfxfxxfx练习书本P26页的第二题2.函数的图象如图所示,试画出导函数图象的大致形状)(xfy)(xf108642-2-4-6-8-10-55101520课本P93:练习2:baC题2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:;32)()2(;3)()1(23xxxfxxxf);,0(,sin)()3(xxxxf.12432)()4(23xxxxf解:(1)因为,所以xxxf3)(3.0)1(333)(22xxxf因此,函数在上单调递增.xxxf3)(3Rx(2)因为,所以32)(2xxxf).1(222)(xxxf当,即时,函数单调递增;0)(xf1x32)(2xxxf当,即时,函数单调递减.0)(xf1x32)(2xxxf单调递增区间为(-,+)单调递增区间为(1,+);单调递减区间为(-,1);题2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:;32)()2(;3)()1(23xxxfxxxf);,0(,sin)()3(xxxxf.12432)()4(23xxxxf解:(3)因为,所以),0(,sin)(xxxxf.01cos)(xxf因此,函数在上单调递减.xxxfsin)(),0(x(4)因为,所以12432)(23xxxxf当,即时,函数单调递增;0)(xf21712171xx或)(xf当,即时,函数单调递减.0)(xf2466)(2xxxf21712171x)(xf单调递增区间为(-1+172,+);(-,-1-172);单调递减区间为(-1-172,-1+172)练习书本P26页的第一题1.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:2(1)()24;(2)();xfxxxfxex332(3)()3;(4)().fxxxfxxxx课本P93:练习1(1)f(x)=x2-2x+4f/(x)=2x-2.当f/(x)0,即X1,函数f(x)单调递增当f/(x)0,即X1,函数f(x)单调递减又f/(1)=0f(x)的单调递增区间[1,+)单调递减区间(-,1]2(1)()24;(2)();xfxxxfxex1.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:课本P93:练习1(2)f(x)=ex-xf/(x)=ex-1.当f/(x)0,即X0,函数f(x)单调递增当f/(x)0,即X0,函数f(x)单调递减又f/(0)=0f(x)的单调递增区间[0,+)单调递减区间(-,0]1.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:2(1)()24;(2)();xfxxxfxex课本P93:练习1(3)f(x)=3x-x3f/(x)=3-3x2.当f/(x)0,即-1x1,函数f(x)单调递增当f/(x)0,即X-1或X1,函数f(x)单调递减又f/(1)=0,f/(-1)=0,f(x)的单调递增区间[-1,1]单调递减区间(-,-1];[1,+)1.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:332(3)()3;(4)().fxxxfxxxx课本P93:练习1(4)f(x)=x3-x2-xf/(x)=3x2-2x-1.当f/(x)0,即x1或x-13,函数f(x)单调递增当f/(x)0,即-13x1,函数f(x)单调递减又f/(1)=0,f/(-13)=0,f(x)的单调递增区间[1,+);(-,-13]单调递减区间[-13,1]332(3)()3;(4)().fxxxfxxxx1.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:总结:当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。①求定义域②求'()fx③令'()0()'()0()fxfxfxfx解不等式的递增区间解不等式的递减区间④求单调区间1°什么情况下，用“导数法”求函数单调性、单调区间较简便？2°试总结用“导数法”求单调区间的步骤？题3如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.如图,函数在或内的图象“陡峭”,在或内的图象平缓.)(xfy),0(b)0,(a),(b),(a∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)∴f(x)=在(0，+∞)上是减函数.x1x1例4证明函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数.证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x1，x2∈(0，+∞)设x1＜x2.21122111xxxxxxf(x1)－f(x2)=2112xxxx∵x1＞0，x2＞0，∴x1x2＞0∵x1＜x2，∴x2－x1＞0，∴＞0点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.证法二：(用导数方法证)x121x∵f′(x)=()′=(－1)·x－2=－，x＞0，21x∴x2＞0，∴－＜0.∴f′(x)＜0，1x∴f(x)=在(0，+∞)上是减函数.证明:因为f(x)=2x3-6x2+7f/(x)=6x2-12x=6x(x-2),当x∈(0,2)时,f/(x)=6x(x-2)0,函数f(x)=2x3-6x2+7在(0,2)内是减函数）内是减函数（在练习：求证函数,20762)(23xxxf-22-11fx=x+1xxOy∴y=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1)x1例5已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.x1x1222)1)(1(1xxxxx解：y′=(x+)′=1－1·x－2=2)1)(1(xxx令＞0.解得x＞1或x＜－1.x1∴y=x+的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).2)1)(1(xxx令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.练习3.讨论二次函数的单调区间.)0()(2acbxaxxf解:)0()(2acbxaxxf.2)(baxxf0)1(a由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递