角的概念推广(一)

高中数学教案第四章三角函数（第1课时）第1页（共6页）课题：4.1角的概念推广（一）教学目的：1.掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义奎屯王新敞新疆2.掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法3．体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.教学难点：终边相同的角的表示.授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法.树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念.教学方法方法可以选为讨论法，通过实际问题，教师抽象并通过用几何画板多媒体课件演示角的形成更加形象直观，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，明确“规定”的实际意义，突出角的概念的理解与掌握.通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的.教学过程：一、复习引入：1．复习：初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形奎屯王新敞新疆这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是]360,0[00，这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”奎屯王新敞新疆2．生活中很多实例会不在改范围]360,0[00体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转体1080º经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？这些例子不仅不在范围]360,0[00，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？（运动）二、讲解新课：高中数学教案第四章三角函数（第1课时）第2页（共6页）1．角的概念的推广⑴角的定义：“旋转”形成角ABαO一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”⑵角的分类：“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°，2100-15006600特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．记法：角或可以简记成奎屯王新敞新疆说明：零角的始边和终边重合。⑶意义用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了奎屯王新敞新疆1角有正负之分如：=210=150=6602角可以任意大实例：体操动作：旋转2周（360×2=720）3周（360×3=1080）3还有零角一条射线，没有旋转角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯系习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．2．象限角高中数学教案第四章三角函数（第1课时）第3页（共6页）为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角(1)象限角:角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角(2)非象限角（也称象限间角、轴线角）：角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限例如：30、390、330是第Ⅰ象限角，300、60是第Ⅳ象限角，585、1180是第Ⅲ象限角，2000是第Ⅱ象限角等奎屯王新敞新疆3．终边相同的角⑴观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与)(Zkk个周角的和：390=30+360)1(k330=30360)1(k30=30+0×360)0(k1470=30+4×360)4(k1770=305×360)5(k⑶结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：ZkkS,360|即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和奎屯王新敞新疆⑷注意以下四点：(1)Zk(2)是任意角；(3)0360k与之间是“+”号，如0360k-30°，应看成0360k+(-30°)；(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．三、讲解范例：高中数学教案第四章三角函数（第1课时）第4页（共6页）例1在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角(1)120(2)640(3)95012'奎屯王新敞新疆解：⑴∵-120º=-360º+240º，∴240º的角与-140º的角终边相同，它是第三象限角．⑵∵640º=360º+280º，∴280º的角与640º的角终边相同，它是第四象限角．⑶∵-950º12’=-3360º+129º48’，∴129º48’的角与-950º12’的角终边相同，它是第三象限角．例2写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在720~360间的角写出来：60⑴21⑵14363⑶奎屯王新敞新疆解：(1)ZkkS，36060|S中在-360°～720间的角是-1×360°+60°=-280°；0×360°+60°=60°；1×360°+60°=420°．(2)ZkkS，36021|S中在-360°～720间的角是0×360°-21°=-21°；1×360°-21°=339°；2×360°-21°=699°．(3)ZkkS，36014363|S中在-360°～720°间的角是-2×360°+363º14’=-356º46’；-1×360°+363º14’=3º14’；0×360°+363º14’=363º14’．四、课堂练习：1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90°的角是锐角吗？高中数学教案第四章三角函数（第1课时）第5页（共6页）0°～90°的角是锐角吗？(答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90°的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；0°～90°的角可能是零角，故它也不一定是锐角．)总结有关角的集合表示．锐角：{θ|0°＜θ＜90°}，0°～90°的角：{θ|0°≤θ≤90°}；小于90°角：{θ|θ＜90°}．2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？(1)420°，(2)-75°，(3)855°，(4)-510°．(答：(1)第一象限角，(2)第四象限角，(3)第二象限角，(4)第三象限角)4200-7508550-5100五、小结本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．本节课重点是学习终边相同的角的表示法．严格区分“终边相同”和“角相等”；“轴线角”“象限角”和“区间角”；“小于90°的角”“第一象限角”“0°到90°的角”和“锐角”的不同意义.六、课后作业：1.下列命题中正确的是()A.终边在y轴非负半轴上的角是直角B.第二象限角一定是钝角C.第四象限角一定是负角D.若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同2.与120°角终边相同的角是()A.－600°＋k·360°，ｋ∈ＺB.－120°＋k·360°，ｋ∈ＺC.120°＋(2k＋1）·180°，ｋ∈ＺD.660°＋k·360°，ｋ∈Ｚ3.若角α与β终边相同，则一定有()A.α＋β＝180°B.α＋β＝0°C.α－β＝ｋ·360°，ｋ∈ＺD.α＋β＝ｋ·360°，ｋ∈Z4.与1840°终边相同的最小正角为，与－1840°终边相同的最小正角是.5.今天是星期一，100天后的那一天是星期，100天前的那一天是星期.6.钟表经过4小时，时针与分针各转了(填度).7.在直角坐标系中，作出下列各角(1)360°(2)720°(3)1080°(4)1440°高中数学教案第四章三角函数（第1课时）第6页（共6页）8.已知Ａ＝｛锐角｝，B＝｛0°到90°的角｝，C＝｛第一象限角｝，D＝｛小于90°的角｝．求Ａ∩Ｂ，Ａ∪Ｃ，Ｃ∩Ｄ，Ａ∪Ｄ.9.将下列各角表示为α＋ｋ·360°（ｋ∈Ζ，0°≤α＜360°）的形式，并判断角在第几象限.(1)560°24′（2）－560°24′（3）2903°15′(4)－2903°15′（5）3900°（6）－3900°参考答案：1.D2.A3.C4.40°320°5.三六6.－120°－1440°7.3.532.521.510.50.511.522.554321123436003.532.521.510.50.511.522.554321123472003.532.521.510.50.511.522.5543211234108003.532.521.510.50.511.522.5543211234144008.A∩B＝AA∪C＝CC∩D＝｛α｜k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z，k≤0＝A∪D＝D9.(1)∵560°24′＝200°24′＋360°∴560°24′与200°24′终边相同在第三象限(2)∵－560°24′＝159°36′＋(－2)·360°∴－560°24′与159°36′终边相同在第二象限(3)∵2903°15′＝23°15′＋8·360°∴2903°15′与23°15′终边相同在第一象限(4)∵－2903°15′＝336°45′＋(－9)·360°∴－2903°15′与336°45′终边相同在第四象限(5)∵3900°＝300°＋10·360°∴3900°与300°终边相同在第四象限(6)∵－3900°＝60°＋(－11)·360°∴－3900°与60°终边相同在第一象限七、板书设计（略）八、课后记：