导数的运算法则

1.2导（函）数的计算1.2.1几种常用函数的导数•NO.1函数y＝f(x)＝c的导（函）数()()yfxxfxxxccx0'00limlim00xxyyx若y＝c（如图）表示路程关于时间的函数，着y′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态。xyy=cO1.2导数的计算1.2.1几种常用函数的导数•NO.2函数y＝f(x)＝x的导（函）数()()yfxxfxxxxxxx1'00limlim11xxyyx若y＝x（如图）表示路程关于时间的函数，着y′＝1可以解释为某物体的瞬时速度始终为1的匀速直线运动。xyy=xO1.2导数的计算1.2.1几种常用函数的导数•NO.3函数y＝f(x)＝x2的导（函）数()()yfxxfxxx22()xxxx2222xxxxxx'00limlim(2)2xxyyxxxxy′＝2x表示函数y＝x2的图象（如图）上点(x,y)处切线的斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化。另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看y′＝2x表明：当x0时，随着x的增加，y＝x2减小得越来越慢；当x0时，随着x的增加，y＝x2增加得越来越快。若y＝x2表示路程关于时间的函数，则y′＝2x可以解释为某物体作变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x。2xxxyOy=x2y=2x1.2导数的计算1.2.1几种常用函数的导数•NO.4函数y＝f(x)＝的导（函）数1x()()yfxxfxxx11xxxx()()xxxxxxx'220011limlim()xxyyxxxxx21xxx探究：画出函数y＝的图象。根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程。1x'21yxxyO1yx1.2导数的计算1.2.1几种常用函数的导数•NO.5函数y＝f(x)＝的导（函）数x()()yfxxfxxxxxxx1xxx'0011limlim()2xxyyxxxxx()()()xxxxxxxxxx一般的，若f(x)=xn（n是有理数），则f′(x)=nxn-1。1.2导数的计算1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则•1、若f(x)＝c（c为常数），则f′(x)＝0；•2、若f(x)＝xn（n∈Q），则f′(x)＝nxn－1；•3、若f(x)＝sinx，则f′(x)＝cosx；•4、若f(x)＝cosx，则f′(x)＝－sinx；•5、若f(x)＝ax，则f′(x)＝axlna；•6、若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex；•7、若f(x)＝logax，则f′(x)＝；•8、若f(x)＝lnx，则f′(x)＝。1lnxa1x一、基本初等函数的导数公式1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则•问题1：如何求函数的导数？•二、导数的运算法则：•（1）[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)•（2）•特殊的：•（3）1.2导数的计算3()23fxxx'[()()]fxgx'()()fxgx''()()()()fxgxfxgx''2()()()()(()0)[()]fxgxfxgxgxgx'[()]cfx''()()cfxcfx'()cfx1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则•二、导数的运算法则：•（1）[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)•证明：1.2导数的计算[()()][()()]yfxxgxxfxgxxx[()()][()()]fxxfxgxxgxx[()()][()()]fxxfxgxxgxxx'00[()()][()()][()()]limlimxxyfxxfxgxxgxfxgxxxx''00[()()][()()]limlim()()xxfxxfxgxxgxfxgxxx1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则•二、导数的运算法则：•（2）[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)•证明：1.2导数的计算()()()()yfxxgxxfxgxxx()(()()()())()()fxgxxfxgxfxxgxxfxgxxx[()()]()()[()()]fxxfxgxxfxgxxgxxx'0[()()]limxyfxgxx0[()()]()()[()()]limxfxxfxgxxfxgxxgxxx''()()()()fxgxfxgx1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则•二、导数的运算法则：•（3）•证明：1.2导数的计算'''2()()()()()(()0)()[()]fxfxgxfxgxgxgxgx()()()()fxxfxygxxgxxx1()()()()()()fxxgxgxxfxgxxgxx()1()()()()())()()()(ffxxgxgxxfxgxfxxgxxgxxgx1[()()]()()[()()]()()fxxfxgxfxgxxgxgxxgxxx例1、求函数y=x3-2x+3的导数。练习：求下列函数的导数：2232323(1);3(2);sin(3)tan2(4)sin;cos1(5)ln;log(6)(2)2axxyxxyxyxxyxxxyxxxyxx作业：•P18：练习2：(1)(2)(3)(4)•P18：习题A：1、2、3、4(1)(2)(3)、5、6、7、81.2导数的计算1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则•1、若f(x)＝c（c为常数），则f′(x)＝0；•2、若f(x)＝xn（n∈Q），则f′(x)＝nxn－1；•3、若f(x)＝sinx，则f′(x)＝cosx；•4、若f(x)＝cosx，则f′(x)＝－sinx；•5、若f(x)＝ax，则f′(x)＝axlna；•6、若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex；•7、若f(x)＝logax，则f′(x)＝；•8、若f(x)＝lnx，则f′(x)＝。1lnxa1x一、基本初等函数的导数公式1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则•问题1：如何求函数的导数？•二、导数的运算法则：•（1）[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)•（2）•特殊的：•（3）1.2导数的计算3()23fxxx'[()()]fxgx'()()fxgx''()()()()fxgxfxgx''2()()()()(()0)[()]fxgxfxgxgxgx'[()]cfx''()()cfxcfx'()cfx•例2、已知曲线C：•（1）求曲线在点P（1,1）处的切线方程；•（2）求曲线过点P（1,1）的切线方程。31233yx注意：在求曲线的切线时，要注意“在”某点处的切线与“过”某点的切线的区别！前者的这个点一定就是切点，后者的这个点不一定是切点（尽管这个点也是在曲线上）。这里的切线可能与曲线不止一个交点！11.-1,-1yx求曲线在点（）处的切线斜率，并写出切线方程。2.(3,2)Pyx求过点，且与曲线相切的直线方程。32(2)-32ykxyxxxk3.若直线与曲线相切，求实数的值。练习：1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则•问题2：利用导数的运算法则，求函数与的导数。•思考：结合下面几个函数的导数，你能发现什么规律吗？1.2导数的计算23(2)yx212yx3yu1yu22ux1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则•问题3：如何求函数y＝ln(x2+2)的导数？•复合函数：对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))。•三、复合函数的求导法则：复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为：yx′＝yu′·ux′即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。1.2导数的计算1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则•例1、求下列函数的导数：•（1）y＝(2x＋3)2；（2）y＝e－0.05x＋1；•（3）y＝sin(ωx+φ)（其中ω，φ均为常数）。1.2导数的计算2232231ln(21)2log(2)3cossin234()4yxyxxyxxVrV练习：求下列函数的导数：（）（）（）（）作业：•P18：练习2－(5)(6)；•P18：习题A：4－(4)(5)(6)；•P19：习题B：2，3。1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则•例1、日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水纯净度的提高，所需净化费用不断提高。已知将一顿水净化到纯净度为x％时所需费用（单位：元）为求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率；（1）90％；（2）98％。1.2导数的计算5284()(80100)100cxxx2212121212(11):2:,pCyxxCyxalCClCCaCC作业本已知抛物线和若直线同时是和的切线，则称是和的公切线。问：当取什么值时，和有且仅有一条公切线？试写出公切线方程。