立体几何解题方法

中小学1对1课外辅导专家·毅帆教育个性化学习中心·教务管理部1毅帆教育学科培训师辅导讲义讲义编号003学员编号年级高二课时数1学员姓名辅导科目数学学科培训师杨博文课题高中立体几何解题方法教学内容一、线线平行的证明方法1、利用平行四边形；2、利用三角形或梯形的中位线；3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面与这个相交，那么这条直线和交线平行。（线面平行的性质定理）4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行的性质定理）5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。（线面垂直的性质定理）6、平行于同一条直线的两个直线平行。7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。二、线面平行的证明方法1、定义法：直线和平面没有公共点。2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。（线面平行的判定定理）3、两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面。4、反证法。三、面面平行的证明方法1、定义法：两个平面没有公共点。2、如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（面面平行的判定定理）3、平行于同一个平面的两个平面平行。4、经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行。5、垂直于同一条直线的两个平面平行。四、线线垂直的证明方法1、勾股定理；2、等腰三角形；3、菱形对角线;4、圆所对的圆周角是直角；5、点在线上的射影；6、如果一条直线和这个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意直线都垂直。7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。（三垂线定理）8、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线。五、线面垂直的证明方法：1、定义法：直线与平面内的任意直线都垂直；2、点在面内的射影；中小学1对1课外辅导专家·毅帆教育个性化学习中心·教务管理部23、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直。（线面垂直的判定定理）4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面。（面面垂直的性质定理）5、两条平行直线中的一条垂直于平面，那么另一条必垂直于这个平面。6、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么这条直线必垂直于另一个平面。7、两相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线必垂直于第三个平面。8、过一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。9、过一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。六、面面垂直的证明方法：1、定义法：两个平面的二面角是直二面角；2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直；（面面垂直的判定定理）3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直。4、如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直。aa高中立体几何经典考题及方法汇总1线面平行的判定1、如图，在正方体1111ABCDABCD中，E是1AA的中点，求证：1//AC平面BDE。证明：连接AC交BD于O，连接EO，∵E为1AA的中点，O为AC的中点∴EO为三角形1AAC的中位线∴1//EOAC又EO在平面BDE内，1AC在平面BDE外∴1//AC平面BDE。2线面垂直的判定A1ED1C1B1DCBA中小学1对1课外辅导专家·毅帆教育个性化学习中心·教务管理部32、已知ABC中90ACB,SA面ABC,ADSC,求证：AD面SBC．证明：90ACB∵°BCAC又SA面ABCSABCBC面SACBCAD又,SCADSCBCCAD面SBC3线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定3、已知正方体1111ABCDABCD，O是底ABCD对角线的交点.求证：(１)C1O∥面11ABD；(2)1AC面11ABD．证明：（1）连结11AC，设11111ACBDO，连结1AO∵1111ABCDABCD是正方体11AACC是平行四边形∴A1C1∥AC且11ACAC又1,OO分别是11,ACAC的中点，∴O1C1∥AO且11OCAO11AOCO是平行四边形111,COAOAO∥面11ABD，1CO面11ABD∴C1O∥面11ABD（2）1CC面1111ABCD11!CCBD又1111ACBD∵，1111BDACC面111ACBD即同理可证11ACAD，又1111DBADD1AC面11ABD4线面垂直的判定4、正方体''''ABCDABCD中，求证：（1）''ACBDDB平面；（2）''BDACB平面.5线面平行的判定（利用平行四边形）5、正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．SDCBAD1ODBAC1B1A1CA1B1C1CD1DGEF中小学1对1课外辅导专家·毅帆教育个性化学习中心·教务管理部4NMPCBA证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，又BD平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C．同理A1D∥平面B1D1C．而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G．从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．6三垂线定理6、如图P是ABC所在平面外一点，,PAPBCB平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，3ANNB（1）求证：MNAB；（2）当90APB，24ABBC时，求MN的长。证明：（1）取PA的中点Q，连结,MQNQ，∵M是PB的中点，∴//MQBC，∵CB平面PAB，∴MQ平面PAB∴QN是MN在平面PAB内的射影，取AB的中点D，连结PD，∵,PAPB∴PDAB，又3ANNB，∴BNND[来源:学§科§网]∴//QNPD，∴QNAB，由三垂线定理得MNAB（2）∵90APB，,PAPB∴122PDAB，∴1QN，∵MQ平面PAB.∴MQNQ，且112MQBC，∴2MN7线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定7、如图，在正方体1111ABCDABCD中，E是1AA的中点.（1）求证：1//AC平面BDE；（2）求证：平面1AAC平面BDE.证明：（1）设ACBDO，∵E、O分别是1AA、AC的中点，1AC∥EO又1AC平面BDE，EO平面BDE，1AC∥平面BDE（2）∵1AA平面ABCD，BD平面ABCD，1AABD又BDAC，1ACAAA，BD平面1AAC，BD平面BDE，平面BDE平面1AAC8线面垂直的判定,构造直角三角形8、已知ABCD是矩形，PA平面ABCD，2AB，4PAAD，E为BC的中点．（1）求证：DE平面PAE；（2）求直线DP与平面PAE所成的角．证明：在ADE中，222ADAEDE，AEDE∵PA平面ABCD，DE平面ABCD，PADE又PAAEA，DE平面PAE中小学1对1课外辅导专家·毅帆教育个性化学习中心·教务管理部5