高中数学：四大类弦长公式

高中数学中的四大类弦长公式一、平面直角坐标中的全场通用弦长公式1、已知两点坐标：11,yxA，22,yxB，则221221yyxxAB2、已知直线上两点：若11,yxA，22,yxB两点在直线bkxy（直线的斜率存在并且不为0）上，则akxxkAB221211（,,21xx是02cbxax的两根和判别式）akyykAB22121111（,,21yy是02cbyay的两根和判别式）注：以上公式适用于直线与曲线相交，将直线与曲线联立但不易求出交点坐标时，采用设而不求思想的解决弦长问题，以上公式的证明会用到韦达定理）二、平面直角坐标中特殊曲线（例如：圆，抛物线，椭圆）中的弦长公式1、直线0:CByAxl与圆222:rbyaxM相交于BA,，则222drAB（其中22BACBbAad为圆心),(baM到直线l的距离）注：此公式证明需用垂径定理2、抛物线中的焦点弦弦长公式，过抛物线交点F直线l与抛物线相交的弦长,BFAFAB①221sin2pxxpAB（其中抛物线开口向右，方程为pxy22）②)(21xxpAB（其中抛物线开口向左，方程为pxy22）③21yypAB（其中抛物线开口向上，方程为pyx22）④)(21yypAB（其中抛物线开口向下，方程为pyx22）注：此公式的证明需用到抛物线的定义和焦半径公式.3、椭圆中的焦点弦的弦长公式,BFAFAB①过椭圆)0(12222babyax的左焦点)0,(1cF的直线l与椭圆相交于11,yxA，22,yxB两点，则212xxeaAB.②过椭圆)0(12222babyax的左焦点)0,(2cF的直线l与椭圆相交于11,yxA，22,yxB两点，则212xxeaAB.③过椭圆)0(12222babxay的左焦点)0(1cF，的直线l与椭圆相交于11,yxA，22,yxB两点，则212yyeaAB.④过椭圆)0(12222babyax的左焦点),0(2cF的直线l与椭圆相交于11,yxA，22,yxB两点，则212yyeaAB.注：此公式的证明需用到椭圆的第二定义和焦半径公式.三、直线标准参数方程下的弦长公式过定点),(00yxP，倾斜角为的直线l的参数方程sincos00tyytxx(t为参数).参数t的几何意义为：t为直线上任一点(,)xy到定点00(,)xy的数量；即：直线l上的动点sin,cos,00tytxMyxM到点),(00yxP的距离等于t.设点BA、对应的参数分别为,,21tt则有：①2121,,ttABtPBtPA②AB中点M对应的参数为221tt，则.221ttPM证明：∵A对应的参数分别为1t∴sin,cos1010tytxA,∴1212120102010sincossincostttytyxtxPA同理2tPB,21ttAB还有一些可能会用到的公式,他们都可通过以上两个结论+绝对值的运算而得：例如：③0,0,2121212121ttttttttttPBPA;0,0,2121212121ttttttttttPBPA④若AB的中点为P,则021tt.（∵AB中点对应的参数为221tt,P对应的参数为0）过定点),(00yxP的直线l的参数方程也可表示为:btyyatxx00(ba,是常数,t为参数).设点NM、对应的参数分别为21,tt,即20201010,,,btyatxNbtyatxM则有：①122tbaPM，222tbaPN，2122ttbaPNPM②AbattbaMN222122（其中21,tt是方程02CBtAt的两根）③0,0,2121212121ttttttttttPNPM;0,0,2121222121222122ttttbattttbattbaPNPM④若MN的中点为P,则021tt.（∵MN中点对应的参数为221tt,P对应的参数为0）四、极坐标系中的弦长公式：2211,,,BA①若21，则21AB②若21，则21212221cos2AB，2121sin21OABS