1.5.1曲边梯形的面积(教学用)

在过去的学习中，我们已经知道正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面“直边图形”的面积；物理中，我们知道了匀速直线运动的时间、速度与路程的关系等等。在数学和物理中，我们还经常会遇到计算平面曲线围成的平面“曲边图形”的面积、变速直线运动物体位移、变力做功的问题。如何解决这些问题呢？能否把求“曲边图形”面积转化为求“直边图形”面积？能否利用匀速直线运动的知识解决变速直线运动的问题？为此，我们需要学习新的数学知识—定积分。课题引入在学习过的函数中，许多函数例如𝑦=𝑥，𝑦=𝑥2,𝑦=𝑥等的图像都是某个区间I上的一条连续不断的曲线。一般地，如果函数y=f(x)在某个区间I上的图是一条连续不断的曲线，那么我们就把它称为区间I上的连续函数。如不加说明，下面研究的都是连续的函数。abxyxfyoafbf15.1图新课探究图1.5—1中，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线y=f(x)的一段，我们把由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？?)25.1(0,1:2Syxxy的面积阴影部分中图所围所的平面图形与直线如何求抛物线形下面先研究一个特殊情25.1图ox1y2xyS图1.5—2中的图形可以看成是直线x=0,x=1,y=0和曲线𝒚=𝒙𝟐所围成的曲边梯形。思考？图1.5—2中的曲边梯形与我们熟悉的“直边图形”的主要区别是什么？能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积问题？25.1图ox1y2xyS可以发现，图1.5—2中的曲边梯形与“直边图形”的主要区别是：前者有一边是曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段。在过去的学习中，我们曾经用多边形逼近圆的方法，利用多边形面积求出圆的面积。这种“以直代曲”的思想启发我们，是否也能用直边形（比如矩形）逼近曲边梯形的方法，求图1.5—2中阴影部分面积呢？a1a2a3ana4..:.,,.,.,1,0,35.1实施这种方法们通过下面步骤来具体我法求出曲边梯形的面积形面积和逼近的思想方用化归为计算矩也即近似程度就会越来越好细随着拆分越来越可以想象曲边梯形面积的近似值得到每个小曲边梯形的面积小替代近似的面积即用矩形以直代曲一个小曲边梯形对每拆分为一些小曲边梯形进而把曲边梯形许多小区间分成把区间如图35.1图ox1y2xyn1ini35.1图ox1y2xyn1ini,1,n1n,,n2,n1,n1,0:n,1n1,01个小区间分成将它等个点隔地插入上间在区间分割.n1n1inixΔ,n,,2,1ini,n1ii其长度为个区间为记第轴的个点作分别过上述x1n.SΔS,.SΔ,,SΔ,sΔ,35.1n,n1iin21显然它们的面积记作图个小曲边梯形把曲边梯形分成垂线35.1图ox1y2xyn1ini2近似代替记𝑓𝑥=𝑥2.如图1.5—3，当n很大，即∆𝑥很小时，在区间𝑖−1𝑛,𝑖𝑛上，可以认为函数𝑓𝑥=𝑥2的函数值变化很小，近似等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点𝑛−1𝑛处的函数值𝑓(𝑛−1𝑛).35.1图ox1y2xyn1ini从图形上看，就是用平行𝑥轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边（图1.5—4）。这样，在区间[𝑖−1𝑛,𝑖𝑛]上，用小矩形的面积∆𝑆𝑖′近似代∆𝑆𝑖，即在局部小范围内“以直代曲”，则有∆𝑆𝑖≈∆𝑆𝑖′=𝑓𝑖−1𝑛∆𝑥=𝑖−1𝑛2∙1𝑛(𝑖=1,2,⋯,𝑛)45.1图n1inix12xyyo放大n1n1ixΔn1ifSΔSS45.1,232n1in1in1i'inn为中阴影部分的面积图由求和n1n1n102n1n1n222231n21n161n2n1nn13.n211n1131.n211n1131SSSn的近似值从而可得.6121121可以证明222nnnn35.1图ox1y2xyn1ini45.1图n1inix12xyyo放大.312111131lim11limlim从而有,趋向于2111131,时0于趋向即,趋向于无穷大当,可以看到,55.1图等份,20,,8,4等分成1,0分别将区间取极限41nnnifnSSSnnSxnnninnnn55.1图oy2xy1xy2xy1xoy2xy1xoy2xy1xo.势数值上看出这一变化趋我们通过下表还可以从n1,0的等分数区间nSS的近似值51225612864321684233235741.033138275.032943726.032556152.031787109.030273438.027343750.021875000.012500000.0?情况又怎样,作为近似值的函数值处,1取任意?吗31这个值也是,若能求出?的值吗用这种方法能求出,处的函数值点上的值近似地等于右端,,2,1,1区间在如果认为函数,中近似代替在探究2iifniniSnifninininixxf探究？.31ξfn1limxΔξflimS,ξfξni,n1ixxf,inn1iinii2都有作近似值处的值点上任意一在区间取可以证明abxyxfyoafbf15.1图一般地，对如图1.5—1所示的曲边梯形，我们也可以采用分割—近似代替—求和—取极限的方法求出其面积。第三步：求和。第二步：近似代替，“以直代曲”。用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法第四步：取极限。第一步：分割。在区间[a,b]中插入n-1个分点，将它们等分成n个小区间[𝒙𝒊−𝟏,𝒙𝒊]𝒊=𝟏,𝟐,⋯,𝒏,区间[𝒙𝒊−𝟏,𝒙𝒊]的长度∆𝒙𝒊=𝒙𝒊−𝒙𝒊−𝟏。说明：1．归纳以上步骤，其流程图表示为：分割→近似代替→求和→取极限2．最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值例．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)=kx（k是常数，x是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b所作的功。解：将物体用常力F沿力的方向移动距离x,则所做的功W=Fx，本题F是克服弹簧拉力的变力，是移动距离x的函数，F(x)=kx，将[0，b]n等分，记△x=，bn分点依次为x0=0，x1=，x2=,……，xn－1=，xn=b，bn2bn(1)nbn当n很大时，在分段[xi，xi+1]所用的力约为kxi，所做的功△W≈kxi·△x=ibkxn则从0到b所做的总功W近似地等于211200[012(1)]nniiiibbkbWknnnn222(1)1(1)22kbnnkbnn当n→+∞时，上式右端趋近于22kb于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为210lim2ninikbWW以上两个实际问题，一个是求曲边梯形的面积，一个是求变力所做的功，虽然实际意义不同，但解决问题的方法和步骤是完全相同的，都归结为求一个函数在某一闭区间上的和式的极限问题.小结1、求曲边梯形的面积2、求变力做功分割—近视代替—求和—取极限作业：优化设计