函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用

成才之路·数学·人教A版·必修4第一章三角函数第一章1．5.2函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修41．简谐运动简谐运动y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，x∈[0，＋∞))中，___叫振幅，T＝2πω叫______，f＝ω2π叫______，_______叫相位，____叫初相．A周期频率ωx＋φφ第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修4函数y＝3sinx2＋π3的周期、振幅依次是()A．4π，3B．4π，－3C．π，3D．π，－3[答案]A第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修4简谐运动y＝14sin13πx－π12的频率f＝________.[答案]16[解析]周期T＝2π13π＝6，则频率f＝1T＝16.第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修4[例3]函数y＝2sin(－2x＋π3)的相位和初相分别是()A．－2x＋π3，π3B．2x－π3，－π3C．2x＋2π3，2π3D．2x＋2π3，π3[错解]对解答本题时易犯的错误具体分析如下：第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修4[正解]∵y＝2sin(－2x＋π3)＝2sin[π－(－2x＋π3)]＝2sin(2x＋2π3)∴相位和初相分别是2x＋2π3，2π3.[答案]C第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修42．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的性质(1)定义域：____.(2)值域：_________．当x＝___________(k∈Z)时，y取最大值A；当x＝__________(k∈Z)时，y取最小值－A.(3)周期性：周期函数，周期为2πω.R[－A，A]2kπ＋π2－φω2kπ－π2－φω第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修4(4)奇偶性：当且仅当φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数；当且仅当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数．(5)单调性：单调递增区间是2kπ－π2－φω，2kπ＋π2－φω(k∈Z)；单调递减区间是2kπ＋π2－φω，2kπ＋3π2－φω(k∈Z)．第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修4[拓展]①对称性：函数图象与x轴的交点是对称中心，即对称中心是kπ－φω，0，对称轴与函数图象的交点的纵坐标是函数的最值，即对称轴是直线x＝kπ＋π2－φω，其中k∈Z.第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修4②对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象，相邻的两个对称中心或两条对称轴相距半个周期；相邻的一个对称中心和一条对称轴相距周期的四分之一．③讨论函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质，要善于采用整体策略，即把ωx＋φ看成一个整体，将问题化归为正弦函数的性质来解决．第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修4已知函数f(x)＝Asinωx＋π3(0，ω0)在一个周期内，当x＝π12时，取得最大值2；当x＝7π12时，取得最小值－2，则函数f(x)＝________.[答案]2sin2x＋π3第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修4[解析]T＝27π12－π12＝π，A＝2.又π＝2πω，∴ω＝2.∴函数f(x)＝2sin2x＋π3.第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修4思路方法技巧第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修4命题方向求三角函数的解析式问题三角函数式中确定φ的方法：确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的关键是φ的确定常用方法有：(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A、ω已知)或代入图象与x轴的交点求解．(此时要注意交点在上升区间还是在下降区间上)第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修4(2)五点法：“五点”中的ωx＋φ的值具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π.第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修4[例1]下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω0，|φ|π2)的图象，确定A、ω、φ的值，并写出函数解析式．第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修4[解析]解法一：(代入法)由图象知振幅A＝3，又T＝5π6－(－π6)＝π，∴ω＝2πT＝2.由点(－π6，0)，得3sin(－π6×2＋φ)＝0，得φ＝kπ＋π3.又∵|φ|π2，∴φ＝π3.∴y＝3sin(2x＋π3)．第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修4解法二：(五点法)由图知第一点为(－π6，0)，第三点为(π3，0)，因此ω×－π6＋φ＝0ω×π3＋φ＝π解得ω＝2φ＝π3，所以y＝3sin(2x＋π3)．第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修4规律总结：对解法一，如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数式y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A和ω，再选取“第一零点”(即五点作图法中的第一个点)或最值点的数据代入求得φ.对解法二，一定要搞清各点位置，否则易出错．第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修4如图为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(|φ|π2，x∈R)的图象中的一段，则函数f(x)的解析式为()第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修4A．f(x)＝2sinπ2x＋π4B．f(x)＝2sinπ2x－π4C．f(x)＝2sinπ4x＋π4D．f(x)＝2sinπ4x－π4[答案]C第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修4[解析]由T2＝4得T＝8，∴ω＝π4，排除A、B；当x＝1时，y＝2，排除D，∴选C.第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修4命题方向函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的运用函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质运用(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质较为综合，在历年高考题中都有所体现和考查．围绕着函数单调性、最值、奇偶性，图象的对称性等都有所体现和考查．(2)有关函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质运用问题，要特别注意整体代换思想的运用．第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修4[例2](2011～2012·临沂高一检测)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－πφ0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝π8.(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值；[分析]本题关键是对图象的对称轴为x＝π8这一条件的利用，由图象一对称轴为x＝π8得：当x＝π8时2x＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)进而可求φ值．第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修4[解析](1)由2x＋φ＝kπ＋π2，k∈Z得x＝kπ2＋π4－φ2，令kπ2＋π4－φ2＝π8，解得φ＝kπ＋π4，k∈Z.∵－πφ0，∴φ＝－3π4.第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修4(2)由(1)知，f(x)＝sin(2x－3π4)．由2kπ－π2≤2x－3π4≤2kπ＋π2(k∈Z)解得kπ＋π8≤x≤kπ＋5π8(k∈Z)故函数的单调递增区间是[kπ＋π8，kπ＋5π8](k∈Z)．同理可得函数的单调递减区间是[kπ＋5π8，kπ＋9π8](k∈Z)．第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修4当2x－3π4＝2kπ＋π2(k∈Z)，即x＝kπ＋5π8(k∈Z)时函数有最大值1；当2x－3π4＝2kπ－π2(k∈Z)，即x＝kπ＋π8(k∈Z)时函数有最小值－1.第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修4(2011～2012·郑州高一检测)已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2)上最高点为(2，2)，该最高点到相邻的最低点间曲线与x轴交于一点(6,0)，求函数解析式，并求函数在x∈[－6,0]上的值域．第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修4[解析]依题意知：A＝2，T4＝4，故T＝2πω＝16，ω＝π8，∴y＝2sin(π8x＋φ)又由函数最高点(2，2)得sin(π8×2＋φ)＝1，故π4＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，∴φ＝2kπ＋π4，k∈Z又由|φ|π2得φ＝π4，第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修4从而y＝2sin(π8x＋π4)，当－6≤x≤0时，－π2≤π8x＋π4≤π4，所以－2≤2sin(π8x＋π4)≤1，即函数的值域为[－2，1]．第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修4名师辨误做答第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修4随堂应用练习第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修41．函数y＝2sin(x2＋π5)的周期、振幅各是()A．4π，－2B．4π，2C．π，2D．π，－2[答案]B第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修42．函数y＝sin(x＋π2)，x∈R()A．在[－π2，π2]上是增函数B．在[0，π]上是减函数C．在[－π，0]上是减函数D．在[－π，π]上是减函数[答案]B第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修43．函数y＝sin(3x－π4)的图象的一个对称中心是()A．(－7π12，0)B．(－π12，0)C．(7π12，0)D．(11π12，0)[答案]A第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修44．已知函数f(x)＝sin(ωx＋π3)(ω0)的最小正周期为π，则该函数图象()A．关于点π3，0对称B．关于直线x＝π4对称C．关于点π4，0对称D．关于直线x＝π3对称[答案]A第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修4[解析]由T＝2πω＝π，解得ω＝2，则f(x)＝sin2x＋π3，则该函数图象关于点π3，0对称．[点评]对于函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，若f(m)＝0，则(m,0)是f(x)的对称中心；若f(m)＝A或f(m)＝－A，则直线x＝m是f(x)的对称轴．第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修45．若函数f(x)＝sin(ωx＋π6)(ω0)的最小正周期是2π5，则ω＝________.[答案]5第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修46．函数y＝sin(2x－π6)的图象在上(－π，π)上有________条对称轴．[答案]4第一章1.51.5.2成才之路·数学·人教A版·必修47．函数y＝Asin(ωx＋φ)(|φ|π2)的图象如图，求函数的表达式．