曲边梯形的面积--汽车行驶的路程

1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程这些图形的面积该怎样计算？例题（阿基米德问题）：求由抛物线y=x2与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积．Archimedes，约公元前287年—约公元前212年问题1：我们是怎样计算圆的面积的？圆周率是如何确定的？问题2：“割圆术”是怎样操作的？对我们有何启示？xy1.了解定积分的基本思想“以直代曲”“逼近”的思想.（重点）2.“以直代曲”“逼近”的思想的形成与求和符号.（难点）曲边梯形的概念：如图所示，我们把由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形．如何求曲边梯形的面积？abf(a)f(b)y=f(x)xyO对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”（即在很小范围内以直代曲)探究点1曲边梯形的面积直线x1，y0及曲线yx2所围成的图形（曲边梯形）面积S是多少？为了计算曲边梯形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形，xyO1方案1方案2方案3y=x2解题思想“细分割、近似和、渐逼近”下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程xoy1图中，所有小矩形面积之和显然小于所求曲边梯形的面积，我们称为S的不足估计值，则有1s1s24.02.0)8.06.04.02.00(222221s观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.2观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.（1）分割把区间[0，1]等分成n个小区间：112i1in1n[0,],[,],,[,],,[,],nnnnnnnii11xnnn过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，它们的面积分别记作12inS,S,,S,,S.每个区间长度为1niiSS（2）近似代替2ii1i11Sf()x()nnn（3）求和n12nii1nn2i1i122223SSSSS,i-11i-11f()()nnnn1[012(n1)]n(i=1,2,…,n)（4）取极限n→∞当分割无限变细，即Δx→0(亦即n→+∞)时，1111S=lim1-1-=3n2n31即所求曲边梯形的面积为.331(n1)n(2n1)n6111(1)(1)3n2n演示区间[0,1]的等分数nS的近似值Sn20.1250000040.2187500080.27343750160.30273438320.31787109640.325561521280.329437262560.331382755120.3323574110240.3328452120480.33308923……我们还可以从数值上看出这一变化趋势思考1：已知物体运动路程与时间的关系,怎样求物体的运动速度？例如s(t)=3t2+2.则v(t)=s´(t)=6t+0.s=vt直接求出探究点2汽车行驶的路程思考2：已知物体运动速度为v(常量)及时间t，怎么求路程？思考3：如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)=－t2+2.那么它在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s是多少呢？1SD2SD2()2vttOvt12ggggg3SDjSDnSD1n2n3njnn-1n4SD解：（1）分割在时间区间0,1上等间隔地插入1n个分点，将区间0,1等分成n个小区间：10,n，12,nn，…，1,1nn记第i个区间为1,(1,2,,)iiinnn，其长度为11iitnnn把汽车在时间段10,n，12,nn，…，1,1nn上行驶的路程分别记作：1S，2S，…，nS显然，1niiSS（2）近似代替当n很大，即t很小时，在区间1,iinn上，可以认为函数22vtt的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点1in处的函数值2112iivnn，从物理意义看，就是汽车在时间段1,iinn(1,2,,)in上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻1in处的速度2112iivnn做匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是用小矩形的面积iS近似地代替iS，则有21112iiiiSSvtnnn2112(1,2,,)iinnnn①（3）求和由①得，21111112nnnniiiiiiSSvtnnnn=221111102nnnnnn=222311212nn=3121126nnnn=11111232nn从而得到S的近似值11111232nSSnn.（4）取极限当n趋向于无穷大时，即t趋向于0时，11111232nSnn趋向于S，从而有111limlimnnnniiSSvnn1115lim112323nnn.思考4：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程s与由直线t=0，t=1，v=0和曲线v=－t2+2所围成的曲边梯形的面积有什么关系？图中矩形面积的和就是曲边梯形的面积，从而汽车行驶的路程在数值上就等于相应曲边梯形面积.slimsnnotv12tv265.1图,,(),,.vvtatb一般地如果物体做变速直线运动速度函数为那么我们也可采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求出它在内的位移s2lim0,1,02.nnSSttvvt从而，汽车行驶的路程在数值上等于由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积例弹簧在拉伸过程中,力与伸长量成正比,即力F(x)=kx(k是常数,x是伸长量).求弹簧从平衡位置拉长b所做的功.将区间［0,b］n等分:解：W=Fx,F(x)=kxbxn分点依次为：012120,,,...,(1),.nnbbxxxnnnbxxbn,nii+1i在分段[x,x]所用的力约为kx，所做的功:iiibWkxxkxn则从0到b所做的功W近似等于:111000nnniiiiiibbWkxxknnn→+∞,得到簧平衡位置拉b所做的功当弹从长为111000nnniiiiiibbWkxxknn22222[012...(1)](1)1(1)22kbnnkbnnkbnn210lim2ninikbWW总结提升：求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法（1）分割（2）近似代替（3）求和（4）取极限0()xn或21.(),12.().().().0iifxxnniffffnnn1nABCD当很大时，函数在区间上的值，可以用（）近似代替.C111“”(),        .().().()(,).2fxABCDiiiiiiiixxfxfxfxx.在近似代替中，函数在区间上的近似值等于（）只能是左端点的函数值只能是右端点的函数值可以是该区间内任一点的函数值以上答案均不正确C1.求曲边梯形面积的“四个步骤”：1°分割化整为零2°近似代替以直代曲3°求和积零为整4°取极限刨光磨平不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。——《荀子劝学》