变分运算法则

附录弹性力学数学基础目录附录1张量基础附录2复变函数数学基础附录3变分法概要附录1张量基础§i1张量1张量特征笛卡儿张量下标求和定约偏导数下标记法特殊张量张量——简化缩写记号表达物理量的集合显著优点——基本方程以及其数学推导简洁张量的特征——整体与描述坐标系无关分量需要通过适当的坐标系定义笛卡儿（Descartes）张量定义一般张量——曲线坐标系定义§i1张量1三维Descartes坐标系中，一个含有3个与坐标相关独立变量集合，通常可以用一个下标表示。位移分量u，v，w缩写记为ui（i=1,2,3）表示为u1,u2,u39个独立变量的集合，两个下标来表示sij和eij——9个应力分量或应变分量sij,k——27个独立变量的集合用三个下标表示i——下标§i1张量2求和定约张量表达式的某一项内的一个下标出现两次，则对此下标从1到3求和。Ajiijakkka31ijjiijakka哑标：出现两次的下标——求和后消失Ajijiycx333232131332322212123132121111ycycycxycycycxycycycx自由标：非重复下标自由标个数表示张量表达式代表的方程数§i1张量3偏导数的下标记法缩写张量对坐标xi偏导数的表达式逗号约定逗号后面紧跟一个下标i时，表示某物理量对xi求偏导数。)()(,iix利用偏导数下标记法，偏导数均可缩写为jijixuu,§i1张量4kijkijxee,kijkijxss,kjiikixxuu,lkijklijxxss,lkijklijxxee,张量的偏导数集合仍然是张量证明：ui，j如果作坐标变换','jiuljlklkkilxxun',')(kjkkiun',')(ljlklkkixxun',')(''jijixnxijjinxx''lljkiklkjinnuu'',','由此可证，ui,j服从二阶张量的变换规律由于因此§i1张量5特殊的张量符号克罗内克尔（KroneckerDelta）记号dijjijiij01d显然100010001333231232221131111ddddddddddij克罗内克尔记号是二阶张量运算规律ijmjimimimiiTTaadddddd3332211§i1张量6置换符号eijk有相等下标时的奇排列，，为，，的偶排列，，为，，032113211kjikjieijk偶排列有序数组1，2，3逐次对换两个相邻的数字而得到的排列奇排列11213321132312231123eeeeee§i1张量8二阶对称张量反对称张量jiijTTjiijTT任意一个二阶张量，总是可以分解为一个对称张量和一个分对称张量之和。张量的对称和反对称性质，可以推广到二阶以上高阶张量。§i1张量9附录2复变函数数学基础复变函数定义解析函数保角变换柯西积分复变函数定义复数——两个实数x，y确定的数z=x+iy1i虚数单位实部虚部模幅角zyIm22||yxzxyarctan复变函数基础§i2复变函数1zxRe函数f（z）在某区域Σ上的每一点导数存在，称为区域Σ上的解析函数。解析函数w=u（x，y）+iv（x，y）柯西－黎曼条件解析函数xvyuyvxu,解析函数的实部和虚部都是调和函数§i2复变函数2——复变函数的可导性02222yuxu02222yvxv•保角变换§i2复变函数3通过函数w=f（z）将平面点的集合g转换为另一个平面（w平面）点的集合G。变换——映射解析函数w=f（z）在点zo所实现的变换点zo处的所有线素皆按同一比例伸长任意两个曲线之间的交角保持不变柯西积分公式)(d)(πi21zftzttfcz为C外的任一点，则0d)(πi21ctzttff（t）在区域S内处处解析，C为S内的任一闭曲线，它的内部完全属于S，z为包含在C内的任一点，则§i2复变函数4如f（t）在区域S外，包括无穷远点处处解析，C为S内的任一闭曲线，它的内部完全属于S，z为包含在C内的任一点，)(d)(πi21ftzttfc§i2复变函数5附录3变分法概要泛函与泛函极值欧拉方程自然边界条件泛函运算泛函和泛函的极值泛函——其值倚赖于其它一个或者几个函数——函数的函数变分法——泛函极值泛函极值条件dJ=0d2J≥0，则∆J＞0，泛函J[y]为极小值；d2J≤0，则∆J＜0，泛函J[y]为极大值。§i3变分法1泛函极值的必要条件—欧拉方程0d)''(21＝xxxyyFyyFJddd变分dy和dy’不是独立无关的，因此21212121d)'(dd'd)dd'd''xxxxxxxxxyyFxyyFxyxyFxyyFdddd＝（＝2121d)]'(dd['xxxxxyyFxyFyyFJddd在x=x1和x=x2时，dJ=021d)]'(dd[xxxyyFxyFJdd§i3变分法20)'(dd＝yFxyF欧拉方程仅仅是泛函极值存在的必要条件确定泛函J为极大值或者极小值，还需要判断其二阶变分d2J大于0还是小于0。由于e在区间（x1，x2）是x的任意函数，所以上式成立的必要条件为积分函数在区间（x1，x2）内为零。§i3变分法3自然边界条件如自变函数在边界的数值不能确定，则0)(,0)(21xyxydd对于可变边界问题，首先必须满足边界不变的极值条件。为满足极值条件，欧拉方程仍旧必须满足。边界变化的泛函极值问题0',0'21xxxxyFyF§i3变分法4泛函变分的基本运算法则泛函变分运算与微分运算法则基本相同2121)(FFFFddd211221)(FFFFFFddd)(1)(21122221FFFFFFFdddFnFFnndd1)(§i3变分法5