变分法

变分法VariationalMethods任课教师：强士中卫星变分法简介基本概念经典变分问题变分运算变分的算法基本概念泛函泛函是一个函数的表达式，取值取决于该表达式中的函数，泛函是函数的函数。1)除变量x外，泛函还可以包含其他的独立变量；2)除函数y(x)外，泛函还可以包含有许多以上述独立变量为函数的其他函数（因变量）；3)泛函中，除一阶导数外，还可以包含有高阶导数。21,,xxIFxyydx经典变分问题最速落径问题在垂直平面内，两点p1、p2间确定一滑槽，使一物体在自重作用下，以最短时间由p1下降到p2。最短线程问题给定曲面g(x,y,z)上确定一条曲线，使其在曲面上的两点之间的长度最短。等周问题在所有的封闭平面曲线中，若这些曲线有固定长度L，确定一条曲线，使其所围成的面积A最大。变分法经典变分问题都是寻求一个问题的最优解答，其求解过程为“最优化”过程。经典变分问题的求解方法和过程是泛函求极值的方法和过程。研究泛函极值的方法就是所谓变分法，研究泛函极值的近似方法就是所谓变分方法。函数求极值局部最大值局部最小值拐点xy=f(x)232323112!3!xaxaxadfdfdffxfaxaxaxadxdxdx23112!3!fxfafaxafaxafaxa一阶变分函数F对变量x,y和y`二次可微；泛函I在两点之间的数值取决于两点间所选择的路径，即函数y(x)。21,,xxIFxyydx设存在函数y(x)，使泛函I达到极值，其相邻路径为。y(x)称为“极值曲线”或“极值函数”，称为“可变路径”()yx()yxη(x)是一可微函数，a为一微量的参变数。η(x1)＝η(x2)＝02211,,,,xxxxIFxyydxFxyayadxa()()()yxyxax2220002!aaadIdIaIIadada222002!aadIdIaIIadadaa=0时，为极值的必要条件为：注意到，00adIda2100xxaFdyFdydxydaydadydadyda210xxFFdxyy222111xxxxxxFFdFdxdxyydxy在两端点∵为任意函数∴欧拉－拉格朗日方程210xxFdFdxydxy0()x0FdFydxy最速落径问题(1)根据能量守恒原理(2)2122222111xxydxdydsTdxVVV221122mVmVmgymgy12211[2]VVgyy212122111[2]xxyTdxVgyy设物体从零点静止开始下落式(2)简化为：(3)(4)将式(4)直接代入欧拉－拉格朗日方程212112xxyTdxyg122(,,)1Fxyyyy232112Fyyy122121Fyyyy2321232221211ydFyyydxyyy122210211FdFyyydxyyyy212yyy2222dyddyyydxydxdy2211dydyyy21yyCydydxCy(5)(6)1cos2Cytsin2Cdytdt1cossin1cos2tCtdtdxt1cos2Ctdtdxsin21cos2CxttCyt(7)方程(7)表示一条旋轮线，它是直径为C的圆轮滚动时，轮周上一固定点的轨迹方程。变分运算引入“δ算子”，定义δ算子表示当独立变量x为一固定值时，因变量函数y的任意微小变化。yxyxyxyxyxdydxyxyyyyyayyya,,Fxyyyy2,,,,FFFxyyyyFxyyyyOyy2,,,,FFFxyyyyFxyyyyOyyFFFyyyy2221112,,,,xxxxxxFFFxyyyydxFxyydxyydxOyy利用δ沿可变曲线将F写成：在任意x处，将F展开成关于y和y`的泰勒级数：∴F的全变分：一阶变分：(),,,,TFFxyyyyFxyy21()2xTxFFIIIyydxOyyI取极值的条件：2211xxxxFdFFIydxyydxyy21xxFdFIydxydxy21xxFFIyydxyy21()22xTxFdFIIOydxOydxy0I0FdFydxy21222222222xxFFFIyyyydxyyyy具有多个因变量：i=1,2,3,…,n含有高阶导数：Euler－Poisson方程：211212,,,,,,,xnnxIFxyyyyyydx0iiFdFydxy21(),,,,,xnxIFxyyyydx22()10nnnnFdFdFdFydxydxydxy变分的算法(1),(2)(3)(4)(5)(6)(7),dydydxdx()()nnyy1212FFFF122112FFFFFF21221122FFFFFFF1nnFnFF2211,,,,xxxxFxyydxFxyydx2FF1kkFF