不等式基础必备

不等式基础必备第1页不等式基础必备一、基本不等式的公式1、均值定理：nnnnQAGH（当且仅当...12naaa时取等号）注解：nQ平方平均值：...22212nnaaaQn；nA算术平均值：...12nnaaaAn；nG几何平均值：...nn12nGaaa；nH调和平均值：...n12nnH111aaa，即：...n12nn111Haaa其中，,,...12naaa0例如：1a1，2a2，求nQ、nA、nG、nH，并比较它们的大小.解：.22n125Q1622；.n12A152；.2nG12214；.n224H1311213122可见：有nnnnQAGH从大到小的顺序是：平方算术，几何调和2、指数不等式：xe1x（当且仅当x0时取等号）注解：由于要求不等式右边1x0，故：x1记忆方法见函数图.曲线xye在xR区间都处在直线y1x的上方，仅在x0处相切.即：xe1x，当且仅当x0时取等号.Oxyxyey1x不等式基础必备第2页例如：x1时，左边.xe2718，右边1x2故：xe1x3、对数不等式：lnxx1（当且仅当x1时取等号）注解：由于0和负数没有对数，所以：x0记忆方法见函数图.曲线lnyx在x0区间都处在直线yx1的下方，仅在x1处相切.即：lnxx1，当且仅当x1时取等号也可以由xe1x得：y1ey两边取对数：lny1y，即：lnxx1例如：xe时，左边lnlnxe1，右边.x1e117181，故：lnxx14、柯西不等式：(...)(...)(...)222222212n12n1122nnaaabbbababab（当且仅当...n1212naaabbb时取等号）注解：设向量(,,...,)12nAaaa，向量(,,...,)12nBbbb，则...222212nAaaa，...222212nBbbb，...1122nnABababab由向量公式：cos,ABABAB得：ABAB两边自乘得：()222ABAB将上面的结果代入得：(...)(...)(...)222222212n12n1122nnaaabbbababab例如：1a1，2a2，1b3，2b4则：21a1，22a4，()2212aa5；21b9，22b16，()2212bb25；Oxylnyxyx1不等式基础必备第3页()()22221212aabb525125；11ab3，22ab8，()221122abab11121.()()22221212aabb125121故：()()()2222212121122aabbabab5、琴生不等式：注解：⑴设在[,]xab区间()fx为上凸函数，如图即()fx的二次导数''()fx0，则：()()()fafbabf22①图中，A点为均值的函数值，B点为函数的均值.即：对于上凸函数，函数的均值不大于均值的函数值.⑵设在[,]xab区间()fx为下凸函数，如图即()fx的二次导数''()fx0，则：()()()fafbabf22②图中，A点为均值的函数值，B点为函数的均值.即：对于下凸函数，函数的均值不小于均值的函数值.上面的①②式，称为琴生不等式.例如：对于函数()sinfxx，在[,]x0区间为上凸函数，因为'()cosfxx，''()sinfxx0（[,]x0）故：()sinfxx在[,]x0区间为上凸函数.此时，a0，b，则ab22()()faf00，()()fbf0，即：()()fafb00022；OabABOabABOBAA不等式基础必备第4页而()()abff122.故：()()()fafbabf22例如：二次函数()2fxx2x1因为'()fx2x2，''()fx20所以()fx下凸函数.在[,]x02区间有：()f01，()f21，()f10即：()()f0f212，()()02ff102故：()()()f0f202f22其实，在xR区间，都满足()()()fafbabf22⑶推广为一般形式对于(,)xab的上凸函数，即:''()fx0，有：()()...()...()12n12nfxfxfxxxxfnn（,,...,(,)12nxxxab）对于(,)xab的下凸函数，即:''()fx0，有：()()...()...()12n12nfxfxfxxxxfnn（,,...,(,)12nxxxab）这就是琴生不等式.注意不等号的方向与二次导数的方向一致.6、伯努利不等式：()n1x1nx（x1）注解：由二项式定理得：()...()n0122nnnnnn1xCCxCxCx1nxgx在x1时，()gx0，即：()n1x1nx（仅当n1时取等号）例如：当x1，n2时，左边()()n21x114，右边1nx1213故：()n1x1nxO12不等式基础必备第5页7、向量不等式：⑴向量三角形：abab和⑵abab⑶向量点乘：abab注解：⑴由a，b，ab构成的三角形，由三角形两边之和大于第三边得.⑵由a，b，ab构成的三角形，由三角形两边之差小于第三边得；⑶由向量积的公式得：cos,abababab，即：abab；⑷若(,,)123aaaa，(,,)123bbbb，则：112233abababab上面这几种基本不等式的简单记忆方法：均值定理四兄弟，对数指数俩伴侣；柯西琴生伯努利，向量三角点乘积.上述不等式的解法统称“公式法”.凡解证不等式，首先考虑用上述的不等式，能使用的尽量使用.不能直接使用的，但经过变形后能使用的，也要尽量使用，即尽一切可能使用上述不等式.二、求不等式的基本方法1、作差法：将比较的两对象相减后，其差与0比较大小的方法.注解：最常用的是构建函数法.例如，证明()()fxgx，则构建()()()hxfxgx2、作商法：将比较的两正数对象相比后，其商与1比较大小的方法.注解：例如，()fx0，()gx0，证明()()fxgx.将其变形为()()fxgx与1比大小.3、公式法：用前面不等式的公式得到结果的方法.注解：即均值定理、柯西不等式等.4、单调性法：利用函数在某区间的单调性得出大小的方法.注解：例如，函数()fx在区间[,]xab单调递增，则有：()()fxfa，()()fxfb.5、放缩法：由等式的一边经过放大或缩小将等式变为不等式；或者大者变得更大，小者变得更小；从而使问题得到解决的方法.注解：例如，n0，原本22nn，将右边减小变为()2nnn1①不等式基础必备第6页①式就是放缩法的结果.6、判别式法：如果一个二次函数过零点，即在零点存在二次方程的解，那么二次方程有解的条件是：判别式0.这里就自然出现了不等式.注解：本方法用于处理二次函数时，包括二次函数的分式.7、换元法：将一个整式、分式或根式整体看做一个量进行处理的方法，主要是简化.注解：特别是三角换元法.因为三角函数本身有界，所以自然就有不等式.此法要求常用的三角恒等式必须熟悉.8、裂项相消法：将一项式子分裂成两项或多项，在求和过程中有部分项相互抵消，从而得到简明结果的方法.注解：例如，在放缩法中的①式，进一步得：()21111nnn1n1n这样，如果是求和n2k11k，则可得结果：()()nnn22k1k2k211111111112kkk1knn其中的()111nn1n1n是裂项.在求和过程中，好多项相互抵消()()()...()nk21111111111k1k1223n1nn9、倒序相加法：将一个多项求和的式子的一个正序列和一个倒序列按序相加的方法.注解：例如，求...nS123n.其倒序后为：()...nSnn121.这两个式子按序相加后得：()()...()n2S1n2n1n1其中，每个圆括号内的值都是()n1，共有n项.故结果是：()n2Snn1，即：()nnn1S210、极值法（最值法）：求出函数()fx在某个区间的极值，加上边界值找出最值，那么函数的最值就是出现不等式的方法.不等式基础必备第7页注解：函数()fx在xR区间的最大值是8，则有()fx811、积分法：积分实际上是求和，是简化求和运算的一种方法.如果函数是单调的，函数的每一小区间内就会出现不等号，求和后依然存在不等号.注解：积分法最好要画出简明图，可以看出单调性和不等的量.上面这几种求不等式的基本方法简单记忆：作差与0比大小，作商与1比高下；套用公式得结果，单调放缩有小大；二次函数过零点，判别式与换元法；倒序相加来求和，裂项相消去简化；极值最值亦可得，单调积分号方法.[例题]已知：,ab0，*nN，n2，求证：()nnnabab22证明：⑴用均值定理：nnAG()()...()()...()nnnnnnnnnnnnnn1n1abababababana22222即：()()()()n1nnnnnnnn1nnabababan1nana222①同理：()()()n1nnnnnnababbn1nb22②由①②两式相加得：()()()()()n1nnnnnnnababn1abnab2即：()()()n1nnnnnababab2n2n222即：()()()n1nnnnnababab222，即：()()()nnnnnnn1ababab222即：()nnnabab22⑵用琴生不等式不等式基础必备第8页构建函数：()nfxx（x0）则：'()n1fxnx，''()()n2fxnn1x0代入琴生不等式()()()fafbabf22得：()nnnabab22