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《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生第三章H无穷控制理论3.1H∞问题的提出（1）干扰抑制问题考虑下图所示系统的干扰抑制问题。()()()11ydyPsKsdTsd−=+=⎡⎤⎣⎦设()()0sindtAtω=，当闭环系统内稳定时，()()()00sinytYttωφε=++其中()0ydYTjAω=⋅,()0,ttε→→∞。可见()0ydTjYω⇒小小当d的频率成分很宽时，则要求：()supminydTjωω→当d的频率成分分布在某一频带内时，则要求：()()1supminydWjTjωωω→其中：1W称为加权。问题：求K使闭环系统内稳定，且1minydKWT∞即1minydKPWT∞内镇定--H∞最优问题PKdy《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生（2）稳定裕度问题假设闭环系统稳定，定义：()()()inf1PjKjωηωω=−−()()inf1PjKjωωω=+若P和K均为真的，其一为严格真的，则01η≤若以开环系统的Nyquist曲线到点()1,0j−的距离为稳定裕度，则为得到最大的稳定裕度，应使η最大，这等价于：()()1supmin1PjKjωωω→+即1min1PK∞→+问题：求K使系统内稳定，且1min1KPK∞+--H∞最优问题（3）频域鲁棒镇定问题{0,PPP==+ΔΔG稳定，且()()},jrjωωωΔ≤∀∈R其中：0P为标称对象；()rs是已知的稳定的实有理函数。•鲁棒镇定：K镇定G，即对,PK∀∈G使闭环系统内稳定。PK−0PK−Δ+《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生设K镇定标称对象0P，则：()()()101KsPsKs−∞+∈⎡⎤⎣⎦RH由Nyquist判据或小增益定理知，对于摄动后受控对象0PP=+Δ，闭环系统内稳定的充分条件是：()()()()1011,jKjPjKjωωωωω−Δ+∀∈⎡⎤⎣⎦R那么，K内镇定G中任意P的充分条件是：()()()()1011,rjKjPjKjωωωωω−+∀∈⎡⎤⎣⎦R等价于()()()()10sup11rjKjPjKjωωωωω−∈+⎡⎤⎣⎦R问题：求K使标称系统内稳定，且：()()()()1011rsKsPsKs−∞+⎡⎤⎣⎦--H∞次优问题说明：1）上述条件也是必要的；2）可对应有MIMO系统的结果：1I→；3）()sΔ可以是不稳定的，只要()0Ps和()Ps具有相同数目的不稳定极点。（4）时域鲁棒稳定问题对于系统()()()000xtABCxtγ∞=+ΔΔ≤该系统鲁棒稳定iff0A稳定，且()11000CsIABγ−−∞⎡⎤−⎢⎥⎣⎦即()10001CsIABγ−∞−（5）状态反馈鲁棒镇定问题()101KPK−+−Δ《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生考虑不确定系统()()()xtAxtBut=+其中：0AAA=+Δ；0BBB=+Δ[][]12ABDEEDEΔΔ=Ω=ΩTIΩΩ≤问题：求状态反馈,..uKxst=()()112001EEKsIABKD−∞+−−--H∞次优问题（6）跟踪问题12uCrCy=+考虑控制性能指标：222minminryryuuρρ−⎡⎤−+=⎣⎦即()2220minryudtρ∞⎡⎤−+⎣⎦∫令ryzuρ−⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则1212111zrCPCPzrTrCPCPρ⎡⎤−⎢⎥−⎢⎥==⎢⎥⎢⎥−⎣⎦性能指标等价为：220minminTzzdtz∞=∫设{}22,,1rrrWddd∈=∈≤HP2C+1Cruy《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生问题：求1C和2C使系统内稳定，且：1222122,,1,minsupminzrCCdHdzrCCPzzTWdTW∈≤∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⇒内稳--H∞最优问题（7）混合灵敏度控制问题令()()11SPsKs−=+⎡⎤⎣⎦称S为灵敏度函数。则干扰抑制问题为：求K，镇定标称受控对象P，且使得1minKPWS∞内镇定若要求干扰对输出的影响达到一定水平之下即可，则可适当选取加权1W，将干扰抑制问题描述为：求K，镇定标称受控对象P，且使得11WS∞考虑乘性摄动()ˆ1PP=+Δ其中Δ稳定，且()()2,jWjωωωΔ≤∀∈R。则闭环系统鲁棒稳定的充分必要条件为：K镇定标称受控对象P，且使得21WT∞其中()()()()11TPsKsPsKs−=+⎡⎤⎣⎦，称T补灵敏度函数。若综合考虑干扰抑制问题和鲁棒镇定问题，则可考虑混合灵敏度控制问题：设计控制器K，其镇定标称受控对象P，且使得121WSWT∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦PKdy−《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生3.2标准H∞控制问题考虑图所示反馈控制系统。11122122GGzwwGGGyuu⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()111122221,lzwzGGKIGKGwFGKwTw−⎡⎤=+−⎣⎦==其中G称为广义受控对象；(),lFGK为关于G和K的（下）线性分式变换(LFT)，定义为()()111122221,lFGKGGKIGKG−=+−H∞控制的标准问题：求一真实有理控制器K,使得闭环系统为内稳定，且使得zwT的H∞范数极小，即minzwT∞K内稳G-H∞最优控制或使得闭环系统内稳定，且使得zwTγ∞-H∞次优控制其中γ是一给定正实数。1、干扰抑制问题⇒标准问题(),lFGKGKωzuyPKdy−P−KωzuydyG《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生()1min1KPK−∞+内稳PzdPuydPuukywd=−=−==11zPwyPu−⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()111111zwTPKPKPK−−=+−−−⋅=+⎡⎤⎣⎦问题：()1minmin1zwKGKPTPK−∞∞=+内稳内稳2、鲁棒镇定问题⇒标准问题求K,内稳0P,且()1011rKPK−∞+0PK−Δ+()()jrjγωω∞Δ≤Δ≤或0P−KωzuyGrG《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生001rzwPyu⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦()1001zwTrKPK−=++问题：求,K使G内稳定，且1zwT∞。3、跟踪问题⇒标准问题求12,CC，使得系统内稳定，且121211min1CPCPWCPCP∞⎡⎤−⎢⎥−⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦()[][]()112121211212111122221111011000010CPCPWPWCPCWCCPWPWCCCCPGGKIGKGρρρ−−−⎡⎤−⎢⎥−−⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥−⎣⎦−⎛⎞⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+−⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎠=+−令0ˆ00ryWPuIzGyuurWyPρρωω⎡−⎤⎡−⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦问题：minzKGTω∞内稳P2C+1CruyG《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生4、混合灵敏度控制问题⇒标准问题121WSWT∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦其中()()11SPsKs−=+⎡⎤⎣⎦()()()()11TPsKsPsKs−=+⎡⎤⎣⎦()()()()()()11111112221112111111*10,lWPKPKWPKWSWTWPKPKWPKPKWPWKPKWPFGK−−−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤−++⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦+⎣⎦⎣⎦−⎡⎤⎡⎤=+−−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦=其中11201WPWGWPP⎡⎤−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥−⎣⎦3.3状态反馈H∞控制GKωzuPKdy−P−Kω1zuyG1W2W−2z《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生121111200ABBGCDDI⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦()1211112xAxBBuzCxDDuyxωω=++⎫⎪=++∗⎬⎪=⎭121,,,mmpnxuzω∈∈∈∈RRRR假设()()12,AAB可镇定。状态反馈H∞控制问题对于给定常数0γ，求一常数矩阵F，使得状态反馈uFx=，满足如下条件（称之为SF条件）：2ABF+为渐近稳定阵且zTωγ∞其中()()()11122111zTsCDFsIABFBDω−=+−−+设()()121rankDip=≤，U和Σ是满足下式的任意矩阵：1212,,,rankrankpiimDUUUi××=Σ∈Σ∈=Σ=RR选择矩阵()22mimF−×Φ∈R使其满足0,TTFFFIΦΣ=ΦΦ=当2im=时，即12D为列满秩时，令0FΦ=。当120D=时，令,0FFIHΦ==。设21111TDDIγ，定义:()1211111111TTRIDIDDDγ−=+−()()()111TTTTFHURU−−−=ΣΣΣΣΣΣ()1211111111TTFAABIDDDCγ−=+−()122111111112TTFBBBIDDDDγ−=+−()1122111111111TTFCIDIDDDCγ−⎡⎤=+−⎢⎥⎣⎦()12211111TFDBIDDγ−=−《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生()11221111111112TTFFIDIDDDDγ−⎡⎤=+−⎢⎥⎣⎦定理：对于满足假设()1A的系统()*,满足SF条件的状态反馈矩阵F存在的充要条件是：（1）21111TDDIγ；（2）存在正常数0ε和正定矩阵Q，使得Riccati代数方程：()()TTTTFFFFFFFFFFFFABHFCPPABHFCPDDP−+−+()10TTTTTFFFFFFFFFFFFPBHBPPBBPCIFHFCQε−−ΦΦ+−+=存在正定解P。若上述条件成立，则如下F满足SF条件：12TTTFFFFFFFFHBPHFCε⎛⎞=−ΦΦ+−⎜⎟⎝⎠假设()2A：1112112120,0,TTDDCDDI===。定理：对于满足假设()()12AA、的系统()*，使SF条件成立的F存在的充分必要条件是：存在0Q，使得代数Riccati方程：21122110TTTTAPPAPBBPPBBPCCQγ−++−++=存在正定解P。若上述条件成立，则如下F满足SF条件：2TFBP=−对假设()2A的解释：2211222zCxDu=+()()1121120TTTTxCuDCxDudt∞=++∫()1112121211120TTTTTTTTxCCxuDDuuDCxxCDudt∞=+++∫()110TTTxCCxuudt∞=+∫假设()3A：11120,0DD==定理：对于满足假设()()13AA、的系统()*，使SF条件成立的F存在的充分必要条件是：存在正数0ε和矩阵0Q，使得Riccati代数方程：211221110TTTTAPPAPBBPPBBPCCQγε−++−++=《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生存在正定解P。当上述ε和Q存在时，若令212TFBPε=−则SF条件成立。证明：令uFx=，由假设()3A，有()211xABFxBzCxω=++=因此()()1121zTsCsIABFBω−=−−欲证2ABF+为稳定矩阵且()()()()111211212TzzTsTsCsIABFBCsIABFBIωωγ−−⎡⎤=−−−−−⎣⎦≤∼由Riccati代数方程：211221110TTTTAPPAPBBPPBBPCCQγε−++−++=22222111111022TTTTTABBPPPABBPPBBPCCQγεε−⎛⎞⎛⎞−+−+++=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠()()22211110TTTABFPPABFPBBPCCQγ−++++++=()()2221111TTTsIABFPPsIABFPBBPQCCγ−−−++−+−−=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()112112112121121112211121121TTTTTTTTTTTBPsIABFBBsIABFPBBsIABFPBBPsIABFBBsIABFQsIABFBBsIABFCCsIABFBγ−−−−−−−−−−++−−+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦−−−+−+⎡⎤⎡⎤⎣⎦