控制工程基础课件-王益群-孔祥东-第三版第七章

第七章非线性系统第七章非线性系统§7-2描述函数法§1-3相平面法§7-1非线性系统的基本概念第七章非线性系统§7-1非线性系统的基本概念线性系统叠加原理：同时有多个输入和输出的系统，可分别现考虑单个输入和相应输出，转化成研究单输入和单输出系统,然后将结果相加。线性系统：系统的动态特性可由线性微分方程来描述的系统，可采用“叠加原理”。nnxfxfxfxxxf2121第七章非线性系统§7-1非线性系统的基本概念一、非线性系统非线性元件：凡是输出与输入的特性不满足线性关系的元件，称为非线性(Nonlinear)元件，或者说该元件具有非线性。如果一个系统含有一个以上非线性元件(或环节)，则称该系统为非线性系统。非线性系统：第七章非线性系统§7-1非线性系统的基本概念二、非线性特性的分类（常见的非线性现象）1、死区：又称不灵敏区。输入信号在零值附近的某一小范围内时，没有输出，只有当输入信号大于此范围时才有输出。输入、输出特性如图7-1a所示。图7-1axy0aa第七章非线性系统§7-1非线性系统的基本概念二、非线性特性的分类——死区举例：二极管伏安特性、执行机构的静摩擦、液压阀阀口正重叠等优缺点：优点：使系统的振荡情况有所减弱；滤去在输入端的小幅度干扰；提高系统的抗干扰能力。缺点：给系统带来稳态误差和低速运动不平稳等不利影响第七章非线性系统§7-1非线性系统的基本概念二、非线性特性的分类（常见的非线性现象）2、饱和：当输入信号超过某一范围后，输出不再跟随输入变化，而是保持某一常值。输入、输出特性如图7-1b所示。图7-1bxy0aa第七章非线性系统§7-1非线性系统的基本概念二、非线性特性的分类——饱和举例：常见于铁磁元件及各种放大器中，如稳压二极管限幅特性、放大器、磁饱和特性等。优缺点：优点：利用饱和特性作为信号限幅，保证系统安全可靠地工作。缺点：使系统在大信号作用下的等效增益降低，深度饱和情况下，甚至使系统丧失闭环控制作用。第七章非线性系统§7-1非线性系统的基本概念二、非线性特性的分类（常见的非线性现象）3、间隙：又称回环，对于一个给定的输入，其输出是多值的。其输入、输出特性如图7-1c所示。图7-1cxy0aa第七章非线性系统§7-1非线性系统的基本概念二、非线性特性的分类——间隙举例：松动的齿轮传动、杠杆机构中的轴销配合等均具有间隙非线性；铁磁元件中的磁滞现象是一种回环现象。优缺点：缺点：使系统稳态误差增大，使系统输出产生相位滞后，使系统动态性能恶化，系统中应尽量设法消除间隙。第七章非线性系统§7-1非线性系统的基本概念二、非线性特性的分类（常见的非线性现象）4、继电器：由于继电器的吸合电压和释放电压不等，使其特性中包含了死区、回环及饱和特性，是一多值函数。输入、输出特性如图7-1d所示。图7-1dxy0amamaMMa第七章非线性系统§7-1非线性系统的基本概念二、非线性特性的分类——继电器应用：近代控制理论中，典型的Bang-Bang控制就是采用继电器特性的控制方法。优缺点：优点：电器特性使用得当，可用来改善系统的性能。缺点：继电器特性会造成系统自激振荡、不稳定以及增大稳态误差。第七章非线性系统§7-1非线性系统的基本概念三、非线性系统的特点(1)非线性系统的稳定性不仅取决于系统本身的结构和参量，而且还与系统的输入和初始状态有关。0aat)(ty②初始偏差大①初始偏差小图7-2第七章非线性系统§7-1非线性系统的基本概念三、非线性系统的特点(2)非线性系统输出的瞬态过程曲线形状不仅取决于系统本身的结构和参量，而且还与输入信号大小和系统初始条件有关。图7-30t)(ty线性系统非线性系统(输出)1y2y叠加原理不适用于非线性系统第七章非线性系统§7-1非线性系统的基本概念三、非线性系统的特点(3)非线性系统可能会存在自激振荡(或称自持振荡)。自激振荡是在没有外界周期变化信号作用时，系统中产生的具有固定周期和振幅的稳定振荡过程，这是非线性系统的又一重要特征，其振荡幅值和频率由系统本身的特性所决定。自激振荡在自由状态时存在，当有输入信号时，自激振荡可能消失，或者被输入信号牵入同步。(4)输入为正弦函数时，非线性系统的输出通常是包含有一定数量高次谐波的非正弦周期函数，周期与输入相同，有时也可能出现跳跃、谐振、倍频和分频振荡等现象。第七章非线性系统§7-1非线性系统的基本概念四、非线性系统分析的方法(1)描述函数法是一种谐波线性化法，属于频域分析方法。它保留系统线性部分，而对非线性环节进行谐波线性化处理，从而来近似分析系统，可以用于高阶系统。(2)相平面法是一种求解非线性方程的图解法，属于时域分析法。它保留系统非线性特性，而将高阶线性部分近似地化成二阶来进行分析，从而使系统分析简单直观。(3)李亚普诺夫方法这是用现代控制理论分析非线性系统的一种方法。它可以根据系统的状态方程直接判断系统的稳定性，此方法需要构造一个李亚普诺夫函数。(4)数值解法这是一种利用数字计算机来求解非线性微分方程的方法。第七章非线性系统§7-2描述函数法描述函数法(DescribingFunctionMethod)是频率法于一定条件下在非线性系统中的应用，主要用于分析非线性系统的稳定性、自激振荡、正弦信号作用下的输出。第七章非线性系统§7-2描述函数法一、描述函数的基本思想和使用的基本条件)()(enen)()(enen)()(enen1．基本思想用非线性环节输出信号中的基波分量(一次谐波分量)来近似取代正弦信号作用下的实际输出。这种方法实质是一种谐波线性化方法，又称一次谐波法。(2)非线性特性是斜对称的，即2．描述函数使用的基本条件（对于如图7-4所示的具有基本形式结构的非线性系统）(3)系统线性部分具有较好的低通滤波器特性(1)非线性环节的参量定常，非线性无记忆)(N)(jG)(tc)(te)(tr)(tn图7-4)()(enen第七章非线性系统§7-2描述函数法二、描述函数的定义设定常非线性环节的输入为，由于非线性特性的作用，其输出信号是一个非正弦周期函数，可用傅立叶级数表示：由于基本条件2满足，则；考虑到基本条件3满足，因此非线性环节输出可用线性基波分量来逼近从而，非线性环节的等效复数增益为即被定义为非线性元件的描述函数。tXtxsin)()(tn1010sin2sincos2)(iiiiii)t(iωYAt)iωBtiω(AAtn00A)(tn)(1ty)sin(sincos)(11111tYtωBtωAtyXABXYXN11j1je)(1注意：谐波线性化得到的不是纯粹的线性数学模型，而是用描述函数代替非线性元件。第七章非线性系统§7-2描述函数法三、描述函数的求取无论给出的是非线性常微分方程，还是含典型非线性特性的非线性元件，均可直接利用描述函数定义式求其描述函数。举例说明tXtxsin)(aX求如图7-5所示饱和特性的描述函数，当输入，，其输出为：xn0aat)(tn0t0aK0tg0K)(txX图7-5饱和特性及其正弦响应ππsinπ0sin)(000ttXKtaKttXKtn式中：tan0KXaarcsin第七章非线性系统§7-2描述函数法三、描述函数的求取实际上常将其中与线性部分增益有相同作用的参量所以，饱和特性的描述函数为根据描述函数定义有：10,A)cossin(π201XKB201arcsinπ2XaXaXaXK2011arcsinπ2BXaXaXaKXaXN)(aXnK分离出来。有：)/()/()(0aXNKaXNXNn)/(0aXN对饱和特性有0nKK。将称为相对描述函数。第七章非线性系统§7-2描述函数法三、描述函数的求取在分析非线性系统时，为与系统线性部分配合使用线性理论的某些结论，经常应用“负倒相对描述函数饱和特性的相对描述函数为201arcsinπ2XaXaXaaXN)(aX)/(10aXN根据参量aX/的不同取值1画出饱和特性的负倒幅相特性曲线如图7-6。Im0(1,j0)Re)(10aXN平面aX图7-6第七章非线性系统§7-2描述函数法四、用描述函数法分析非线性系统描述函数法常用来分析非线性系统的稳定性和自激振荡。描述函数法是频率法在非线性系统中的应用，类似于线性系统中频率法的分析。)j(G)/(0aXN则有，由线性系统频率特性法知道，线性系统闭环特征方程为0)(1sG，以代替s，j1)j(G从)j(G与点之间的关系能判别)0j,1(线性系统的稳定性。当在s平面的右半部无极点时：不包围点，则线性系统稳定；包围点，则不稳定；穿过点，线性系统处于临界稳定状态。)(sG)j(G)0j,1()j(G)0j,1()j(G)0j,1(类似地，对于具有基本形式的非线性系统，其中线性部分为频率特性，非线性部分以表示，则有)j(G)(aXN1)j()(GaXN上式可写成：)/(1)j(0aXNGKn式中：——系统非线性部分的相对描述函数；——非线性部分中与线性部分的增益有相同作用的参量。)/(0aXNnK第七章非线性系统§7-2描述函数法四、用描述函数法分析非线性系统)j(G)/(0aXN)j(nGK)/(10aXN可以根据特性与曲线相对位置，对非线性系统的稳定性和自激振荡进行分析，从而得到以下结论：1)若在复平面上，不包围，则非线性系统稳定，见图7-7a；2)若在复平面上，包围，则非线性系统不稳定，见图7-7b；3)若在复平面上，与相交，即满足了式(7-8)的关系，则在非线性系统中将产生周期振荡。其振幅由上交点处对应的X值决定，频率则由上交点处对应的值决定，见图7-7c；4)当与有交点，且被包围的的部分所对应的振幅X值小于交点另一侧未被包围的部分所对应的振幅X值(或交点处的X值)，则此交点对应的周期振荡即为系统稳定的自激振荡。)j(GKn)/(10aXN)j(nGK)/(10aXN)j(nGK)/(10aXN)j(nGK)/(10aXN)/(10aXN)j(nGKω)j(nGK)/(10aXN)j(nGK)/(10aXN)j(nGK)/(10aXN第七章非线性系统§7-2描述函数法四、用描述函数法分析非线性系统)j(G)/(0aXN)j(nGK)/(10aXNIm0Re)(10aXN)(jGKnabcdefaXIm0Re)(10aXNaX)(jGKn),1(jIm0Re)(10aXN)(jGKn)0,1(jXa图7－7a图7－7b图7－7c第七章非线性系统§7-2描述函数法四、用描述函数法分析非线性系统)j(G)/(0aXN)j(nGK)/(10aXN例7-1具有理想继电器的非线性系统如图7-8所示，试确定其自激振荡的振幅和频率。01)2)(1(10sssery图7－8解理想继电器特性的描述函数为：M4)M(10XXN1M1n，K时，0X0)/(10aXN时，，X)/(10aXN)/(10aXN的轨迹为整个负实轴，如图7-9第七章非线性系统§7-2描述函数法四、用描述函数法分析非线性系统)j(G)/(0aXN)j(nGK)/(10aXNIm0Re)(10aXN平面MX)0(a)(jGKn图7-9由线性部分传递函数得：)4)(1()2(10j)4)(1(30)j2)(j1(j10)j(22222GKn第七章非线性系统§7-2描述函数法四、用描述