孔祥东、王益群-控制工程基础课件第五章

第五章控制系统的频域分析第五章控制系统的频域分析§5-2频率特性图形表示法§5-3闭环频率特性§5-1频率特性的基本概念§5-4时域指标与频域指标的关系§5-5几何稳定判据§5-6相对稳定性第五章控制系统的频域分析§5－1频率特性的基本概念频率响应：是指控制系统或元件对正弦输入信号的稳态正弦输出响应。若给线性控制系统输入某一频率的正弦波，系统稳定后，系统输出亦为同一频率的正弦波；但输出量的振幅和相位一般都与输入量不同。)(A)(频率特性：正弦信号输入时，系统输出与输入的幅值比和相位差随输入频率的变化规律。一、频率特性基本概念第五章控制系统的频域分析§5－1频率特性的基本概念G(s)记录纸瞬态稳态纸带运动方向0R0AR2πC(s)R(s)c(t)r(t)图5-1频率响应图示第五章控制系统的频域分析§5－1频率特性的基本概念设控制系统的传递函数为11101110()()()mmmmnnnnbsbsbsbCsGsRsasasasa……式中，n≥m。当输入为一正弦波，即0()sinrtRt则有022()RsRs系统的输出为022()()()()RCsGsRsGss设系统的传递函数为12()()()()()()()npspsGsqsssssss（5-1）（5-2）（5-3）第五章控制系统的频域分析1212()jjnnbbbaaCsssssssss式中分母多项式中包含有互不相同的单极点，若系统稳定，则其实部均为负值。将式(5-3)代入式(5-2)并化为部分分式得(1,2,,)isin（5-4）jj()eetttctaa§5－1频率特性的基本概念,aa(1,2,)ibin——待定共轭复数；——待定常数。式中对式5-4做拉氏变换，并略去趋近于零的项，得（5-5）第五章控制系统的频域分析§5－1频率特性的基本概念00j22(j)()(j)2jsRRGaGsss00j22(j)()(j)2jsRRGaGsssImjarg(j)(j)arctanRejGGGG由式5-2、5-4，用部分分式法求待定系数得jj(j)(j)e(j)eGGGj(j)(j)eGG(j)G(j)G)j(G式中表示的幅值，表示的相位。即（5-7）第五章控制系统的频域分析j()j()00ee()(j)(j)sin()2jttctRGRGt()sin()Bt（5-8）将代入式5-6得,aa,aa)j()(0GRB)j(0GR()t0R式中，从而证明了当线性系统输入一正弦信号时，其输出量亦为正弦信号。但输出量的幅值和相位一般都和输入信号的幅值和相位t不同，并且这种变化是输入频率的函数。——输出正弦信号的幅值。第五章控制系统的频域分析§5－1频率特性的基本概念若输入信号为tRtrsin)(0则控制系统的输出信号为0()()sin()ctARt)j()(GA)j(G分别表示)j(G的模和相位。，、)(j)()j(VUG)j(Re)(GU)j(Im)(GV)j()(GA()(j)G——称为实频特性；——称为虚频特性；——稳态输出量与输入量的幅值比，称为幅频特性；——稳态输出量与输入量的相位差，称为相频特性。第五章控制系统的频域分析§5－1频率特性的基本概念这些频率特性间的关系如下22)()()(VUA()()arctan()VU()()cos()UA()()sin()VAj()(j)()cos()jsin()()GAAe第五章控制系统的频域分析§5－1频率特性的基本概念频率特性的求取xfkyOImReV(ω)A(ω)φ(ω)U(ω)G(jω))j(G图5-2的矢量图图5-3弹簧-阻尼系统若以x为输入，以y为输出，则系统的传递函数是11()11YGsfXTssk第五章控制系统的频域分析j()1(j)()e1jGAT2)(11)(TA()arctanT21()()cos()1()UAT2()()sin()1()TVAT0()sinxtxt002()()sin()sin(arctan)1()xytxAttTT令s＝j，则得系统的频率特性为(幅频特性)(相频特性)虚频特性如若输入位移是正弦函数，即根据式(5-7)，其稳态输出位移应为式中因此，实频特性第五章控制系统的频域分析§5－1频率特性的基本概念例5-1某系统传递函数为732s732s，当输入为12sin4573t时，试求其稳态输出。解当给线性系统输入正弦函数信号时，系统将输出一个与输入同频率的正弦函数信号，其输出的幅值与相位取决于系统幅频特性与相频特性。237)(ssG7(j)3(j)2G27()94A3()arctan2已知则第五章控制系统的频域分析§5－1频率特性的基本概念12()sin4573rtt21217273742943A23245arctan45032322()sin43ctt所以则又有第五章控制系统的频域分析§5－2频率特性图形表示法频率法是一种具有直观意义的图解法，通常采用以下三种形式表示：1)幅相频率特性图是在极坐标系上表示的)j(G与)j(G也称奈魁斯特(Nyquist，耶鲁大学物理学博士)图。的关系,2)对数频率特性图是由在半对数坐标系上表示的幅频特性图和相频特性图组成。也称伯德(Bode，Bell实验室数学家)图，是目前应用最多的一种表示法。3)对数幅相频率特性图是在对数坐标系中表示的)j(G与)j(G间的关系，又称尼柯尔斯(Nichols)图。第五章控制系统的频域分析§5－2频率特性图形表示法频率特性是个矢量，给出不同的频率值，就可算出相应的幅值)j(G和相位)j(G，故可在复平面上画出值由零变到无穷大的频率特性)j(G矢量。，把各矢量端点连成曲线即是幅相特性曲线(奈魁斯特图)1．比例环节比例环节的传递函数是KsG)(令s＝j，幅频特性相频特性KKVUG0)j(22200/0arctan/arctan)j(KUVGUjVK，比例环节的幅频特性是常数K，相频特性是0在奈魁斯特图上是实轴上的一个点一、幅相频率特性图第五章控制系统的频域分析§5－2频率特性图形表示法2．积分环节根据积分环节的传递函数ssG/1)(，同理可得其频率特性为1jj1)j(G幅频特性相频特性(j)1/G)j(,0G0)j(,G1(j)arctan900GUjV=0因(j)90G是一常数，而G(j)随增加逐渐减小，故积分环节的幅相频率特性是一与虚轴负段重合的直线。第五章控制系统的频域分析§5－2频率特性图形表示法3．微分环节根据微分环节的传递函数得其频率特性为j)j(G幅频特性)j(G相频特性(j)arctan/090G微分环节的幅相频率特性为一与虚轴正段重合的直线。UjV=0第五章控制系统的频域分析§5－2频率特性图形表示法4．惯性环节根据惯性环节的传递函数得其频率特性为VUTTTTGj)(1j)(11j11)j(22幅频特性222)(11)j(TVUG相频特性arctan)j(G)arctan(TUV2222121VU0,(j)1,(j)0GG11/,(j),(j)452,(j)0,(j)90TGGGGUjV=011/2上式为一圆的方程，圆的半径为0.5，圆心在(0.5，j0)处。第五章控制系统的频域分析§5－2频率特性图形表示法5．一阶微分环节同理可得一阶微分环节的频率特性TGj1)j(幅频特性2(j)1()GT相频特性(j)arctanGT0,(j)1,(j)0GG,(j),(j)90GG当一阶微分环节的频率特性在复平面上是通过(1，j0)点且平行于虚轴上半部的直线。UjV=01第五章控制系统的频域分析§5－2频率特性图形表示法6．振荡环节振荡环节的频率特性是VUTTTTTTTTTTGj)2()(12j)2()(1)(12j)(11)j(2j11)j(222222222幅频特性2221(j)1()(2)GTT相频特性22(j)arctan1()TGT0,(j)1,(j)0GG1,(j)1/(2),(j)90,(j)0,(j)180GGTGG当UjV=09.03.0第五章控制系统的频域分析§5－2频率特性图形表示法幅相特性的振幅不仅与有关，而且与阻尼比有关。当阻尼比小到一定程度时，振幅会有峰值出现，称之为谐振峰值。rM，其所对应的频率为谐振频率r。222d(j)d10dd1()(2)GTT22rn11212T2222max121)2()(11)j(rTTGMr产生谐振峰值时的相位为02(j)90arctan12rG令得第五章控制系统的频域分析§5－2频率特性图形表示法7．二阶微分环节根据二阶微分环节的传递函数，可得其频率特性为TTTTG2j)(1)j(2j1)j(22幅频特性222)2()(1)j(TTG2)(12arctan)j(TTG相频特性0,(j)1,(j)0GG,(j)2,(j)90,(j),(j)180nGGGG当UjV=09.03.0第五章控制系统的频域分析§5－2频率特性图形表示法8．延时环节根据延时环节的传递函数，可得其频率特性为j(j)ecosjsinTGTT幅频特性1)j(G相频特性TG)j(延时环节的幅相特性是一个单位圆。UjV第五章控制系统的频域分析§5－2频率特性图形表示法例5-2设一个由延时环节和惯性环节组成的系统，其传递函数为e()1sGsTs，试画出它的幅相特性图。解令js，得幅相特性为je(j)1jGT幅值j211(j)e1j1()GTT相位j1(j)earctan1jGTT当0时，0)j(,1)j(GG随着增加，其幅值单调减小，而相位，(j)0G滞后则单调增加。当。1jVUO0第五章控制系统的频域分析§5－2频率特性图形表示法)()(jGBode图：系统的对数频率特性图，由对数幅频特性和对数相频特性成，其定义为：横坐标按频率的对数分度即lg()，纵坐标分别为：对数幅频特性：对数相频特性：所得为半对数坐标图，而且对应两个图。)(lg20))(()(jGjGLL优点：1.绘图简单：可将幅值的乘法运算转变为加法运算。2.图形直观：可直观地看出系统中每个环节的作用，便于对系统进行分析、校正与测定。3.频率扩展：可将系统的对数频率特性沿横轴扩展。二、对数频率特性图