孔祥东、王益群-控制工程基础课件第三章

第三章控制系统的时域分析数学模型控制器被控对象输入量r(t)输出量c(t)控制量u(t)扰动量N(t)检测反馈元件偏差e(t)反馈量b(t)第三章控制系统的时域分析控制系统的实际运行，都是在时域内进行的。给系统输入时间信号，系统的输出即为系统的时间响应。控制系统的时域分析是通过研究系统在给定输入信号作用下的时间响应来评价系统的性能，在时域内分析系统的动静态特性。第三章控制系统的时域分析§3-2一阶系统的时间响应§3-4高阶系统的时间响应§3-1时间响应及系统性能指标§3-3二阶系统的时间响应§3-5稳定性及其代数稳定判据§3-6误差分析与计算第三章控制系统的时域分析第三章控制系统的时域分析§3-1时间响应及系统性能指标一、时间响应的概念描述系统的微分方程的解就是该系统时间响应的数学表达式。任一系统的时间响应都是由瞬态响应(TransientResponse)和稳态响应(Steady-StateResponse)组成。瞬态响应：系统在某一输入信号的作用下，系统的输出量从初始状态到稳定状态的响应过程称为瞬态(或称暂态)响应，也称过渡过程。在某一输入信号的作用后，时间趋于无穷大时系统的输出状态称为稳态响应。稳态响应：s0t第三章控制系统的时域分析二、典型实验信号系统的瞬态响应不仅取决于系统本身的特性，还与外加输入信号的形式有关。在分析和设计控制系统时，总是预先规定一些特殊的实验输入信号，然后比较各种系统对这些实验输入信号的响应，并以此作为对各种控制系统性能进行比较的基础。实验信号的选取原则：1)具有典型性，能够反映系统工作的大部分实际情况。2)形式尽可能简单，便于分析处理。3)能使系统在最不利的情况下工作。§3-1时间响应及系统性能指标第三章控制系统的时域分析1.阶跃信号0t0t0t§3-1时间响应及系统性能指标阶跃信号相当于一个数值为一常值的信号，在时突然加到系统上。0t幅值A为1的阶跃函数称为单位阶跃函数，记作1(t)，单位阶跃函数的拉氏变换为：阶跃函数如右图所示，定义为0()00AtArtt，，常量，1()1()RsLts图3-1a阶跃信号第三章控制系统的时域分析2．斜坡信号当A＝1时称为单位斜坡函数。这种实验信号相当于控制系统中加入一个按恒速变化的信号，其速度为A。§3-1时间响应及系统性能指标斜坡函数如右图所示，定义为拉氏变换为：,0()0,0Attrtt2()ARsLAts图3-1b斜坡信号第三章控制系统的时域分析3．加速度信号该实验信号相当于控制系统中加入一按恒加速度变化的信号，加速度为A。当A＝1时，称为单位加速度函数。§3-1时间响应及系统性能指标加速度函数如右图所示，定义为拉氏变换为：1,020,02Attt231()2ARsLAts＝图3-1c加速度信号第三章控制系统的时域分析4．脉冲信号若对实用脉冲的宽度取趋于零的极限，则为理想单位脉冲，称作单脉冲信号，记为()t拉氏变换为：()()1RsLt§3-1时间响应及系统性能指标脉冲函数如右图所示，定义为1,0()0,0,thrthtth其中，脉冲宽度为h，脉冲面积为1。图3-1d脉冲信号第三章控制系统的时域分析三、瞬态响应指标通常，控制系统的动态性能指标，以系统对单位阶跃输入量的瞬态响应形式给出。§3-1时间响应及系统性能指标在工程实践中，评价控制系统动态性能的好坏，多用时域的几个特征量来表示。为了评价控制系统对单位阶跃输入的瞬态响应特征，通常采用下列一些性能指标：延迟时间，上升时间，峰值时间，最大超调量以及调整时间。第三章控制系统的时域分析pt允许误差2%st5%pM0.5dtct10t0.90.1rt§3-1时间响应及系统性能指标图3-2表示性能指标的阶跃响应曲线：延迟时间dt：上升时间rt：峰值时间pt：最大超调量pM：调整时间st第三章控制系统的时域分析§3-1时间响应及系统性能指标1.延迟时间：响应曲线第一次达到稳定值的一半所需的时间，叫做延迟时间。响应曲线从稳态值的10%上升到90%，或从0上升到100%所需的时间都叫做上升时间。对于过阻尼和临界系统(ζ≥1)，通常采用10%～90%的上升时间；对于欠阻尼系统(0ζ1)，通常采用0～100%的上升时间。2.上升时间：各性能指标定义如下:3．峰值时间：响应曲线达到超调量的第一个峰值所需要的时间叫做峰值时间。第三章控制系统的时域分析最大峰值(即第一个峰值)与理想稳态值1之间的差值叫做最大超调量值Mp。通常采用百分比表示最大相对超调量，定义为4．最大超调量：pp()()%100%()ctcσc最大超调量的数值，直接说明了系统的相对稳定性。§3-1时间响应及系统性能指标响应曲线最终收敛在稳态值附近，这时曲线的变化对于稳态值的百分比在一个允许的范围内。响应曲线第一次达到并永远保持在这一允许误差范围内所需要的时间，叫做调整时间。调整时间与控制系统的时间常数有关。允许误差的百分比选多大，取决于设计要求，通常取5%或2%。5．调整时间：第三章控制系统的时域分析§3-2一阶系统的时间响应一、一阶系统的数学模型能用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。一阶系统的典型形式是惯性环节。传递函数为()()XsAPsfsk描述一阶系统的微分方程的通式为100()()()actactbrt如图3-3所示的不计质量的弹簧-阻尼系统，若以油压p为输入，以位移x为输出，则表现为一阶系统。描述它的微分方程为()()()fxtkxtApt图3-3一阶系统第三章控制系统的时域分析传递函数的一般形式为()()1CsKRsTs(3-1)式中K——系统增益；T——时间常数，具有时间量纲。当K＝1时，典型系统的方块图及其简化形式如图3-4a、图3-4b所示。a)b)图3-4一阶系统方块图§3-2一阶系统的时间响应第三章控制系统的时域分析二、一阶系统的单位阶跃响应给一阶系统输入单位阶跃信号，根据式(3-1)进行拉氏反变换，求出微分方程的解即为一阶系统的单位阶跃响应。为单位阶跃函数()Rs1()Rss()111()()()11CsTCsRsRsTsssTs(3-2)对上式进行拉氏反变换，得出()1etTct(3-3)(t≥0)时间响应曲线见图3-5a。§3-2一阶系统的时间响应第三章控制系统的时域分析图3-5a一阶系统的时间响应时间响应从零值到终值呈指数曲线上升。曲线在t=0的初始斜率为00d()11(0)edtTttctctTT可见，时间常数T是一阶系统重要的特征参数。它表征了系统过渡过程的品质，T越小，惯性越小，系统的响应越快。系统响应的稳态值为()()1tcct§3-2一阶系统的时间响应第三章控制系统的时域分析把t=T代入式(3-3)可得1()1e0.632cT故时间常数T可定义为系统的时间响应达到稳态值的63.2%所需要的时间。从图3-5a可以看出，经过三倍的时间常数，响应曲线上升到稳态值的95%，经过四倍的时间常数，响应曲线达到稳态值的98.2%。如果要求响应曲线保持在稳态值的5%～2%的允许误差范围内，那么系统的调整时间ts=(3～4)T，以此作为评价响应时间长短的标准。时间常数决定于系统参数而与输入函数无关。在图3-3所示系统中，/Tfk§3-2一阶系统的时间响应第三章控制系统的时域分析三、一阶系统的单位斜坡响应图3-5b一阶系统的时间响应单位斜坡函数t的拉氏变换为，代入式(3-2)中可得21s222111()11TTCsTssTsss取上式的拉氏反变换，可得()e0tTcttTTt(3-4)系统对单位斜坡输入的时间响应和输入信号表示于图3-5b中。§3-2一阶系统的时间响应第三章控制系统的时域分析误差信号为()()()e1etTtTetrtctttTTT即当t→∞时，→0，/etTe()T从图中也可以看出，当t足够大时，一阶系统跟踪单位斜坡信号输入的误差等于时间常数T。§3-2一阶系统的时间响应第三章控制系统的时域分析四、一阶系统的单位脉冲响应单位脉冲的拉氏变换，这时式(3-2)为()1Rs1()1CsTs取其拉式反变换得1()e0tTcttT时间响应曲线如图3-5c所示。图3-5c一阶系统的时间响应§3-2一阶系统的时间响应第三章控制系统的时域分析五、线性定常系统的重要特征系统对输入信号导数的响应，可以通过把系统对输入信号的响应进行微分来求出；系统对原信号积分的响应，等于系统对原信号响应的积分。这是线性定常系统的特点，线性时变系统和非线性系统都不具备这种特点。§3-2一阶系统的时间响应第三章控制系统的时域分析§3-3二阶系统的时间响应一、二阶系统的数学模型二阶系统是可以用二阶微分方程描述的系统。图2-13所示质量-弹簧-阻尼系统，外力F(t)为输入，位移x为输出，描述它的微分方程为22dd()ddxxmfkxFttt该系统的传递函数为2()1()()XsGsFsmsfsk(3-6)上式可以写成2n222nn11()2kωmGsfkkksωsωssmm(3-7)图2-13第三章控制系统的时域分析式中为系统增益，，，和ζ只决定于系统参数而与输入无关。k1nkm2fmkn传递函数2n22nn()2Gsss(3-9)微分方程222nn1d2d()ddxxxFttt(3-8)可以用两个特征参数来普遍地描述各种二阶系统的动态特性，即无阻尼自然频率和阻尼比ζ。借助这两个参数，把二阶系统的数学模型写成如下标准形式n§3-3二阶系统的时间响应第三章控制系统的时域分析典型二阶系统的方块图及其简化形式示于图3-6a，图3-6b。a)b)图3-6二阶系统框图§3-3二阶系统的时间响应第三章控制系统的时域分析二、二阶系统的单位阶跃响应对单位阶跃输入，，从式(3-9)可以求出系统单位阶跃响应的拉氏变换()1()rtt1()Rss()()()CsGsRs2nn2222nnnn21122sssssss(3-10)对上式进行拉式反变换，可得二阶系统的单位阶跃响应。从式(3-9)可求得二阶系统的特征方程22nn20ss(3-11)它的两个根，即为二阶系统的闭环极点：21,2nn1s(3-12)§3-3二阶系统的时间响应第三章控制系统的时域分析下面分别对二阶系统在，，以及四种情况下的瞬态响应进行讨论，假定初始状态为零。110101．，临界阻尼情况1由式(3-12)得：，系统有两个相重的负实数极点，如图3-7a所示。1,2nsω§3-3二阶系统的时间响应图3-7第三章控制系统的时域分析这时式(3-10)变成2nn22nnn11()()()Cssssss对上式进行拉式反变换，得到nn()1e(1)tctt(0)t§3-3二阶系统的时间响应图3-7a表示了二阶系统在临界阻尼状态的单位阶跃响应，它既无超调，也无振荡。第三章控制系统的时域分析2．，过阻尼情况1由式(3-12)得，系统有两个不相等的负实数极点，示于图3-7b左图。21,2nn1s§3-3二阶系统的时间响应图3-7二阶系统极点分布与对应的阶跃响应第三章控制系统的时域分析把式(3-10)写成部分分式()Cs2n22n12nsss2n22nnnn11sss11222222nnnn211211111sss§3-3二阶系统的时间响应第三章控制系统的时域分析求上式的拉式反变换，得到2n1221()1e211tct2n1221