控制工程基础课件-王益群-孔祥东-第三版第四章

第四章根轨迹法第四章根轨迹法§4-2常规根轨迹§4-3广义根轨迹§4-1根轨迹的基本概念§4-4增加开环零极点对根轨迹的影响第四章根轨迹法§4-1根轨迹的基本概念借助这种方法常常可以比较简便、直观地分析系统特征根与系统参数之间的关系，如果特征根的位置不能令人满意，很容易根据根轨迹来确定该怎样对参数进行调整，从而指导选择最佳的参数，进一步还可以分析附加零极点对根轨迹的影响，从而考虑用附加环节来改善原有系统的品质。根轨迹法已发展成为经典控制理论中最基本的方法之一，与频率法互为补充，成为控制系统分析和设计的有效工具。控制系统的稳定性和时间响应中瞬态分量的运动模态都由系统特征方程的根即闭环极点决定。因此确定特征根在s平面上的位置对于分析系统的性能有重要意义。当系统中的某一或某些参量变化时，利用已知的条件(如开环零、极点)，绘制闭环特征根的轨迹。第四章根轨迹法一、根轨迹的基本概念§4-1根轨迹的基本概念根轨迹是指系统特征根(闭环极点)随系统参量变化在s平面上运动而形成的轨迹。通过根轨迹图可以看出系统参量变化对系统闭环极点分布的影响，以及它们与系统性能的关系。下面结合图4-1所示的二阶系统，介绍根轨迹的基本概念。图4-1二阶系统K1s(s+2a)_R(s)C(s))2()(1assKsG)2()(1assKsG)2()(1assKsG01p系统开环传递函数为，它有两个极点，和。)2()(1assKsG01pap22系统的闭环传递函数为，特征方程为。1212)()(KassKsRsC0212Kass第四章根轨迹法在a和K1为正值的情况下，此二阶系统总是稳定的，但系统的特征方程式的根却随参量a和K1的值而变化，从而影响到系统的瞬态性能。122,1Kaas§4-1根轨迹的基本概念下面讨论a保持常数，开环增益K1改变时的情况。当时，s1和s2为互不相等的实根。而当时，和，即等于系统的两个开环极点。210aK01K01sas22当时，则两根为实数且相等，即。21aKass21第四章根轨迹法§4-1根轨迹的基本概念当时，两根成为共轭的复数根，其实部为，这时根轨迹与实轴垂直并相交于点。12Kaa)0j,(aK1由0向∞变化时的根轨迹，如图4-2所示。箭头表示K1增大方向。p1=0aOsjp2=2a(s+2a)图4-2二阶系统的根轨迹图由图可见：1)此二阶系统的根轨迹有两条，时分别从开环极点01K01p和ap22出发。第四章根轨迹法§4-1根轨迹的基本概念2)当K1从0向a2增加时，两个根s1和s2沿相反的方向朝着)0j,(a点移动，这时s1和s2都位于负实轴上，对应于系统的过阻尼状况。3)当增益K1增加到21aK时，两个特征根s1和s2会合于ass21处，对应于临界阻尼状态。21aK4)K1进一步增加到两个根s1和s2离开实轴，变为共扼复数根，其实部保持为常数a，对应于欠阻尼状态，系统的阶跃响应将出现衰减振荡。K1的数值愈大，振荡频率愈高，但由于s1和s2的负实部为常数不变，系统的调节时间变化不大。第四章根轨迹法§4-1根轨迹的基本概念一般而言，绘制根轨迹时选择的可变参量可以是系统的任意参量。但是，在实际中最常用的可变参量是系统的增益K1。以系统增益K1为可变参量绘制的根轨迹称为常规根轨迹。上述二阶系统的特征根是直接对特征方程求解得到的，但对高阶系统的特征方程直接求解往往十分困难。为此，伊万斯提出了绘制根轨迹的基本规则，利用这些基本规则，根据开环传递函数零、极点在s平面上的分布，就能较方便地画出闭环特征根的轨迹。综上所述，根轨迹是指系统特征根(闭环极点)随系统参量变化在s平面上运动而形成的轨迹。通过根轨迹图可以看出系统参量变化对系统闭环极点分布的影响，以及它们与系统性能的关系。第四章根轨迹法§4-2常规根轨迹一、绘制根轨迹的相角条件和幅值条件_R(s)C(s)H(s)G(s)图4-3反馈控制系统设系统方框图如图4-3所示，其特征方程为0)()(1sHsG或1)()(sHsG。G(s)H(s)是复变量s的函数，根据等式两边幅值和相角应分别相等的条件，有1)()(sHsG,2,1,0q)12(180)()(qsHsG和以上两式是满足特征方程的幅值条件和相角条件，是绘制根轨迹的重要依据。在s平面的任一点，凡能满足上述幅值条件和相角条件的，就是系统的特征根，就必定在根轨迹上。第四章根轨迹法§4-2常规根轨迹系统开环传递函数通常可以写成两种因子式niimjjpszsKsHsG111)()()()(niimjjsTsKsHsG11)1()1()()(式中K1——开环传递函数写成零、极点形式时的增益(又称根轨迹增益)；zj、pi——开环零、极点；K——开环传递函数写成时间常数形式时的增益(又称开环增益)；τj、Ti——分子和分母中的时间常数。第四章根轨迹法§4-2常规根轨迹由上两式不难看出niimjjpzKK111)()(jjz1mj,,2,1iiTp1ni,,2,1在实际的物理系统中，如不考虑开环传递函数中位于无穷远处的零、极点，则有mn，即开环传递函数的极点数(分母阶次)大于或等于零点数(分子阶次)。第四章根轨迹法§4-2常规根轨迹另外一种形式的幅值条件和相角条件1||||111niimjjpszsKmjjniizspsK111||||或)12(180)()(11qpszsniimjj,2,1,0q在s平面上满足相角条件的点所构成的图形就是闭环系统的根轨迹。因此，相角条件是决定闭环系统根轨迹的充分必要条件，而幅值条件主要是用来确定根轨迹上各点对应的K1值。第四章根轨迹法§4-2常规根轨迹二、绘制根轨迹的基本规则规则一根轨迹的各条分支是连续的，而且对称于实轴。实际系统的参数都是实数，因而特征方程是系数为实数的代数方程。当系数连续变化时，方程的根也连续变化。所以特征方程的根轨迹是连续的。此外，由于特征根或为实数，或为共轭复数，因此根轨迹必然对称于实轴。根据幅值条件mjjniizspsK111||||niimjjpszsK111||||1规则二当01K时，根轨迹的各分支从开环极点出发；当时，根轨迹的m条分支趋向开环零点，另外mn条分支趋向无穷远处。1K第四章根轨迹法§4-2常规根轨迹规则三在s平面实轴的线段上存在根轨迹的条件是，在这些线段右边的开环零点和开环极点的数目之和为奇数。利用相角条件可以证明这个规则，现举例说明。jωσp1p2p3p4p5z2z1sdO图4-4实轴上根轨迹的确定设系统开环零、极点分布如图4-4所示。现要判断p2和z2之间的实轴线段上是否存在根轨迹。为此可取此线段上的任一点sd为试验点。在sd点右边实轴上的每个开环零或极点指向该点的相量的相角为180°；而在点sd左边实轴上的每个开环零或极点提供的相角为0°。一对共轭极点或零点提供的相角相互抵消，其和为零。第四章根轨迹法由相角条件可知，只有在右边开环零极点的总数为奇数的实轴线段上，才能有根轨迹存在。除此之外，实轴上其他线段上的点均不能满足相角条件。§4-2常规根轨迹例4-1设控制系统的框图如图4-5a所示，要求绘制系统的根轨迹。K1(s+1)(s+2)s(s+3)(s+4)_R(s)C(s)图4-5系统框图及根轨迹a)系统框图b)根轨迹a)解由规则二可知，系统有三个开环极点，所以有三条根轨迹分支。系统的根轨迹在01K时分别从三个开环极点430321ppp，，出发，当1K时根轨迹的两条分支趋向开环零点(Z1=-1,Z2=-2)，另一条趋向无穷远处。第四章根轨迹法§4-2常规根轨迹jωσp3=-4p2=-3z2=-2z1=-1p1=0Ob)由规则三可知，在实轴上的0至-1线段、-2至-3线段、以及-4至-∞线段上存在根轨迹。此系统的根轨迹如图4-5b所示。规则四根轨迹中条趋向无穷远处分支的渐近线相角为mnmnq)12(180a,2,1,0q，第四章根轨迹法§4-2常规根轨迹可以认为，从有限开环零、极点到位于无穷远处一点的相量的相角基本相等，以表示。因此相角条件可改写为a)12(180)()()(aqmnsHsG由此可得规则四。显然，渐近线的数目等于趋向于无穷远根轨迹的分支数，即为。mn规则五伸向无穷远处根轨迹的渐近线与实轴交于一点，其坐标为(σa，j0)，而mnzpmjjnii11a第四章根轨迹法§4-2常规根轨迹由规则一可知，渐近线必然对称于实轴。同时可以证明，诸条渐近线在实轴上交于一点。下面简要证明。11111111111)()(mnmjjniimnniinniinmjjmmjjmszpsKpspszszsKsHsG利用多项式乘法和除法，可得在的条件下，当时，有条根轨迹分支趋向无穷远处，即。这时可以只考虑高次项，将上式近似写为mn1Kmns1111)()(mnmjjniimnsszpsKsHsG第四章根轨迹法§4-2常规根轨迹对于无穷远处的根轨迹渐近线上的点而言，有限的开环零、极点的区别是可以忽略的。因此上述系统等效于一个具有m个开环零点和n个开环极点，并且所有零极点都聚集在σa点的系统。此系统的开环传递函数P(s)可用下式表示1a1a1))(()()(mnmnmnsmnsKsKsP不难看出，此系统的根轨迹有n-m条分支，它们都是由(σa，j0)出发的射线，其相角为mnq)12(180a第四章根轨迹法§4-2常规根轨迹如果选择mjjniizpmn11a))((mnzpmjjnii11a即由于G(s)H(s)和P(s)分母中前两项高阶项完全相同，因而当s时，G(s)H(s)就能近似地用P(s)来表征，方程0)()(1sHsG的mn条根轨迹分支便会趋向于方程0)(1sP的根轨迹，即后者是前者的渐近线。第四章根轨迹法§4-2常规根轨迹例4-2绘制开环传递函数为)2)(1()()(1sssKsHsG的单位反馈系统的根轨迹。解此系统无开环零点，有三个开环极点，分别为01p12p23p，和。基于上述规则可知，系统根轨迹的三条分支，当01K时分别从开环极点p1、p2和p3出发，1K时趋向无穷远处，其渐近线的相角为180,603)12(180aq1,0q其中jωσp3=-2p2=-1p1=0Obc图4-6根轨迹第四章根轨迹法§4-2常规根轨迹渐近线与实轴的交点为132111amnzpmjjnii实轴上的0至－1和－2至－∞线段上存在根轨迹。系统根轨迹如图4-6所示。23p由图可见，根轨迹的三条分支中，一条从点出发，随着K1的增大，沿着负实轴趋向无穷远处。另外两条分支分别从和出发，沿着负实轴向着b点移动。当K1达到某一数值(Kb)时，这两条分支会合于实轴上的b点。这时特征方程有二重根，系统处于临界阻尼状态。当K1继续增大时，这两条分支离开负实轴分别趋近60°和的渐近线，向无穷远处延伸。在时，系统处于欠阻尼状态，出现衰减振荡。而当时，系统成为不稳定状态。01p12p60bcKKK1cKK1第四章根轨迹法§4-2常规根轨迹规则六复平面上根轨迹的分离点必须满足方程0dd1sK两条以上根轨迹分支的交点称为根轨迹的分离点。根轨迹的分离点实质上是特征方程的重根，因而可