《大学物理》练习题及详细解答-—真空中的静电场

1《大学物理》练习题及详细解答-—真空中的静电场1.电荷为q和q2的两个点电荷分别置于1xm和1xm处。一试验电荷置于x轴上何处，它受到的合力等于零？解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷0q位于点电荷q的右侧，它受到的合力才可能为0，所以200200)1(π4)1(π42xqqxqq故223x2.电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?解：(1)以A处点电荷为研究对象，由力平衡知，q为负电荷，所以20220)33(π4130cosπ412aqqaq故qq33(2)与三角形边长无关。3.如图所示，半径为R、电荷线密度为1的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为l、电荷线密度为2的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的电场力。解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取dldq1，dq在带电圆环轴线上x处产生的场强大小为)(4220RxdqdE根据电荷分布的对称性知，0zyEE23220)(41cosRxxdqdEdEx式中：为dq到场点的连线与x轴负向的夹角。23220)(4dqRxxEx232210)(24RxRx232201)(2RxxR下面求直线段受到的电场力。在直线段上取dxdq2，dq受到的电场力大小为dqEdFxdxRxxR2322021)(2方向沿x轴正方向。直线段受到的电场力大小为dFFdxRxxRl02322021)(2RO12lxyz22/12202111RlRR2方向沿x轴正方向。4.一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为。求：（1）圆心处O点的场强；（2）将此带电半圆环弯成一个整圆后，圆心处O点场强。解：（1）在半圆环上取Rdldqd，它在O点产生场强大小为20π4RdqdEdR0π4，方向沿半径向外根据电荷分布的对称性知，0yEdRdEdExsinπ4sin0RdREx000π2sinπ4故REEx0π2，方向沿x轴正向。（2）当将此带电半圆环弯成一个整圆后，由电荷分布的对称性可知，圆心处电场强度为零。5．如图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电量为q，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d的P点的电场强度。解：建立图示坐标系。在均匀带电细直杆上取dxLqdxdq，dq在P点产生的场强大小为202044xdxxdqdE，方向沿x轴负方向。故P点场强大小为LddPxdxdEE204Lddq04方向沿x轴负方向。6.一半径为R的均匀带电半球面，其电荷面密度为，求球心处电场强度的大小。解：建立图示坐标系。将均匀带电半球面看成许多均匀带电细圆环，应用场强叠加原理求解。在半球面上取宽度为dl的细圆环，其带电量rdldSdq2dRsin22，dq在O点产生场强大小为（参见教材中均匀带电圆环轴线上的场强公式）23220)(4rxxdqdE，方向沿x轴负方向利用几何关系，cosRx，sinRr统一积分变量，得23220)(4rxxdqdEdRRRsin2cos41230LdqPxOORxdlr3dcossin20因为所有的细圆环在在O点产生的场强方向均沿为x轴负方向，所以球心处电场强度的大小为dEEdcossin22/0004方向沿x轴负方向。7.一“无限大”平面，中部有一半径为R的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为，如图所示。试求通过小孔中心O并与平面垂直的直线上各点的场强。解：应用补偿法和场强叠加原理求解。若把半径为R的圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平面等效为一个完整的“无限大”带电平面和一个电荷面密度为的半径为R的带电圆盘，由场强叠加原理知，P点的场强等效于“无限大”带电平面和带电圆盘在该处产生的场强的矢量和。“无限大”带电平面在P点产生的场强大小为012σE，方向沿x轴正方向半径为R、电荷面密度的圆盘在P点产生的场强大小为（参见教材中均匀带电圆盘轴线上的场强公式）022E)1(22xRx，方向沿x轴负方向故P点的场强大小为220212xRxEEE方向沿x轴正方向。8.(1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电场强度通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电场强度通量是多少?解：（1）由高斯定理0dqSEs求解。立方体六个面，当q在立方体中心时，每个面上电通量相等，所以通过各面电通量为06qe（2）电荷在顶点时，将立方体延伸为边长a2的立方体，使q处于边长a2的立方体中心，则通过边长a2的正方形各面的电通量06qe对于边长a的正方形，如果它不包含q所在的顶点，则024qe，如果它包含q所在顶点，则0e。9.两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为1和2，试求空间各处场强。解：如图所示，电荷面密度为1的平面产生的场强大小为012E，方向垂直于该平面指向外侧电荷面密度为2的平面产生的场强大小为ORxPx4022E，方向垂直于该平面指向外侧由场强叠加原理得两面之间，)(2121021EEE，方向垂直于平面向右1面左侧，)(2121021EEE，方向垂直于平面向左2面右侧，)(2121021EEE，方向垂直于平面向右10.如图所示，一球壳体的内外半径分别为1R和2R，电荷均匀地分布在壳体内，电荷体密度为（0）。试求各区域的电场强度分布。解：电场具有球对称分布，以r为半径作同心球面为高斯面。由高斯定理iSqSdE01得iqrE0214当1Rr时，0iq，所以0E当21RrR时，)3434(313Rrqi，所以203133)(rRrE当2Rr时，)3434(3132RRqi，所以2031323)(rRRE11.有两个均匀带电的同心带电球面，半径分别为1R和2R（12RR），若大球面的面电荷密度为，且大球面外的电场强度为零。求：（1）小球面上的面电荷密度；（2）大球面内各点的电场强度。解:（1）电场具有球对称分布，以r为半径作同心球面为高斯面。由高斯定理iSqSdE01得iqrE0214当2Rr时，0E，0442122RRqi，所以212)RR（（2）当1Rr时，0iq，所以0E当21RrR时，222144RRqi，所以022)rRE（5负号表示场强方向沿径向指向球心。12.一厚度为d的无限大的带电平板，平板内均匀带电，其体电荷密度为，求板内外的场强。解：电场分布具有面对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面与平板垂直，设两底面圆到平板中心的距离均为x，底面圆的面积为S。由高斯定理iSqSdE01得SSdEiqSESE010当2dx时（平板内部），Sxqi2，所以0xE当2dx（平板外部），Sdqi，所以02dE13.半径为R的无限长直圆柱体均匀带电，体电荷密度为，求其场强分布。解：电场分布具有轴对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面高为l，底面圆半径为r，应用高斯定理求解。iSqrlESE01π2d(1)当Rr时，lrqi2，所以02rE(2)当Rr时，lRqi2，所以rRE02214.一半径为R的均匀带电圆盘，电荷面密度为，设无穷远处为电势零点，求圆盘中心O点的电势。解：取半径为r、dr的细圆环rdrdSdq2，则dq在O点产生的电势为0024drrdqdV圆盘中心O点的电势为drdVVR00202R15.真空中两个半径都为R的共轴圆环，相距为l。两圆环均匀带电，电荷线密度分别是和。取两环的轴线为x轴，坐标原点O离两环中心的距离均为2l，如图所示。求x轴上任一点的电势。设无穷远处为电势零点。解：在右边带电圆环上取dq，它在x轴上任一点P产生的的电势为220)2/(4RlxdqdV右边带电圆环在P产生的的电势为6dqRlxdVV220)2/(41220)2/(2RlxR同理，左边带电圆环在P产生的电势为220)2/(2RlxRV由电势叠加原理知，P的电势为02RVVV22)2/(1(Rlx))2/(122Rlx16.真空中一半径为R的球形区域内均匀分布着体电荷密度为的正电荷，该区域内a点离球心的距离为R31，b点离球心的距离为R32。求a、b两点间的电势差abU解：电场分布具有轴对称性，以O为球心、作半径为r的同心球面为高斯面。由高斯定理iSqSdE01得当Rr时，3023414rrE，所以03rEa、b两点间的电势差为baabrdEU0203/23/183RdrrRR17．细长圆柱形电容器由同轴的内、外圆柱面构成，其半径分别为a和a3，两圆柱面间为真空。电容器充电后内、外两圆柱面之间的电势差为U。求：（1）内圆柱面上单位长度所带的电量；（2）在离轴线距离ar2处的电场强度大小。解：（1）电场分布具有轴对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面高为l，底面圆半径为r，应用高斯定理求解。iSqrlESE01π2d内、外两圆柱面之间，lqi，所以rE02内、外两圆柱面之间的电势差为drrrdEUaaaa30323ln20内圆柱面上单位长度所带的电量为3ln20U（2）将代人场强大小的表达式得，3lnrUE在离轴线距离ar2处的电场强度大小为73ln2aUE18.如图所示，在A，B两点处放有电量分别为+q,-q的点电荷，AB间距离为R2，现将另一正试验点电荷0q从O点经过半圆弧移到C点，求移动过程中电场力作的功。解：O点的电势为RqVO0π40π40RqC点的电势为RqVC3π40Rq0π4Rq0π6电场力作的功为RqqVVqAoCO00π6)(19．如图所示，均匀带电的细圆环半径为R，所带电量为Q（0Q），圆环的圆心为O，一质量为m，带电量为q（0q）的粒子位于圆环轴线上的P点处，P点离O点的距离为d。求：（1）粒子所受的电场力F的大小和方向；（2）该带电粒子在电场力F的作用下从P点由静止开始沿轴线运动，当粒子运动到无穷远处时的速度为多大？解：（1）均匀带电的细圆环在P点处产生的场强大小为（参见教材中均匀带电圆环轴线上的场强公式）23220)(41dRQdEx，方向沿OP向右粒子所受的电场力的大小23220)(4dRqQdqEFx，方向沿OP向右（2）在细圆环上取dq，dq在P点产生的电势为rdqdV042204dRdqP点的电势为dqdRdVV220412204dRQ由动能定理得，021)0(2mVqA2202dRmqQ