16章二次根式知识点及例题

第1页第十六章二次根式知识点一、二次根式1.定义：一般地，我们把形如(0)aa的式子叫做二次根式，称为二次根号，二次根号下的a叫做被开方数．注意：(1)二次根号的定义是从形式上界定的，即必须含有二次根号“”．(2)二次根式的被开方数可以是一个数字，也可以是一个代数式，但必须满足被开方数大于等于0．(3)根指数是2，这里的2可以省略不写．(4)形如(0)baa的式子也是二次根式，它表示b与a的乘积．例题：1.下列各式中，一定是二次根式的是．(1)327(2)9(3)23a(4)21x(5)221aa(6)1212xx(7)2816aa2.下列各式中，一定是二次根式的是（）A.7B.12x（x为任意实数）C.m（m为任意实数）D.33练习：1.下列各式中，一定是二次根式的是．(1)33(2)4(3)21x(4)(0,0)xyxy(5)238a(6)2612xx2.下列各式中，一定是二次根式的是（）A.9B.21x（x为任意实数）C.2m（m为任意实数）D.35知识点二、二次根式有意义的条件1.从总体上描述：在二次根式a中，当0a时，a有意义，当0a时，a无意义．2.从具体的情况总结，如下：(1)单个二次根式如A有意义的条件：0A；(2)多个二次根式相加A+BN有意义的条件：000ABN；(3)二次根式作为分式的分母如BA有意义的条件：0A；(4)二次根式作为分式的分子如BA有意义的条件：00AB．第2页例题：1.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义．(1)31x(2)1x(3)12xx(4)1211xx(5)21x(6)223xx2.函数1yx自变量的取值范围是（）A.1xB.1xC.0xD.0x3.若12x有意义，则x的取值范围是_______．练习：1.若式子3x在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A.3xB.3xC.3xD.3x2.下列四个式子中，x的取值范围为2x的是（）A.2xB.2xC.12xD.22xx3.21xx有意义的x的取值范围是_______．知识点三、二次根式的性质（重点，难点）性质1：式子(0)aa具有双重非负性，它即表示二次根式，又表示非负数a的算式平方根，具体描述为：(1)a是非负数，a的最小值是0；(2)a的被开方数a是非负数．注意：几个非负数的和为0时，这几个非负数必须同时为0．例题：1.(2015.外国语期末卷)若012yx，则yx=_______．2.若22(1)0xy，则xy=_______．3.若232(1)0xzy，则2015()xyz=_______．4.若225yxx，求yx的值______．5.若3260xyxy，求x，y的值．第3页练习：1.(2015.铜盘中学期末卷)若x，y为实数，且错误!未找到引用源。,则2015)(yx的值为________．2.若23210xyy，则2()xy=_______．3.已知a,b为实数，且521024aab，求a，b的值．4.若2231210aabb，求221aba的值．性质2：2()(0)aaa，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身．注意：不能忽略0a这一限制条件，导致类似244的错误．性质3：2(0)(0)aaaaaa，即当一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于它本身，记为2(0)aaa；当一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于它的相反数，记为2(0)aaa．注意：不要认为a一定是非负数，从而出现如2(2)2的错误．2a与2()a的区别与联系：表达式2()aa2aa区别意义不同2()a表示非负数a的算式平方根的平方2a表示实数2a的算术平方根取值范围不同0aa为任意实数运算结果不同2()(0)aaa2(0)(0)aaaaaa运算顺序不同2()a表示非负数a先开平方再作平方2a表示对实数a先平方再开平方运算联系2a与2()a均为非负数，且当0a时，22()aa例题：第4页1.计算：(1)23()5(2)22(10)(3)22(3)3(4)21(14)22.计算：(1)23()5(2)23()5(3)2(6)(4)2(3.14)3.当m3时，2(3)m_______．4.设三角形的三边长为a，b，c，试化简：2222()()()()abcabcbaccba．练习：1.计算：(1)2(3.4)(2)2(3.4)(3)2(3)(4)2(4)2.若23a，则22(2)(3)aa等于（）A.52aB.12aC.25aD.21a3.已知实数ab、在数轴上的位置如图所示，化简：222+()abab．4.已知a为实数，求代数式2224aaa的值．知识点四、二次根式的乘除第5页1.二次根式的乘法法则：(0,0)ababab．提示：(1)在设计二次根式运算时没有特备说明，所有字母都表示正数；(2),ab可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的．推广：abcdabcd0,0,0,0abcd．2.abab的逆运用：abab（0,0ab）．例题：1.计算：(1)62(2))32(276(3))196()121((4))33)(31((5)338xyy(6)378xyy2.化简：(1)1259(2)24323.(1)比较35与43的大小__________，(2)比较3655与的大小__________．练习：1.计算：(1))196()121((2))33)(31((3)23249xyy(4)359xyxy2.化简：(1)12116(2)96323.比较6456与的大小__________，(2)比较8338与的大小__________．3.分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。第6页有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个二次根式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：单项二次根式有理化因式两项二次根式有理化因式aabababababababababnambnam分母有理化的方法与步骤：（1）现将分子、分母化成最简二次根式；（2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；（3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式。例题：1.ba1化简为（）A.baB.baC.babaD.baba2.下列各式中正确的是（）A.12121B.52501C.5101000D.602040323.已知a=65，b=561，则a与b的大小关系式是ab.5.将下列各式分母有理化.(1)51(2)8121(3)2235123cba（4）133（5）3252（6）nmnm（m≠n）练习：第7页1.已知a=23，b=231，则a与b的关系是（）A.a=bB.ab=1C.a=-bD.ab=-12.满足不等式234x354的整数共有（）个A.4B.5C.6D.73.52的倒数是.4.设231327c,b,a，则a、b、c从小到大的顺序是.5.将下列各式分母有理化.（1）xyy422（2）baa2（3）5020..（4）yx24.二次根式的除法法则：(0,0)aaabbb．提示：乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．例题：1.计算：(1)648(2)107514(3)2343abba练习：1.计算：(1)858(2)15452(3)232348baba4.最简二次根式：(1)被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；(2)被开方数中不含分母，小数；(3)分母中不含根式．第8页例题：1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A.2.0B.22baC.x1D.a42.(2014.华伦单元卷)把1aa根号外的因式移动到根号内的结果是（）A.aB.aC.aD.a3.24n是整数，则正整数n的最小值是（）A.4B.5C.6D.7练习：1.下列根式中不是最简二次根式的是（）A.2B.6C.8D.102.下列各式中，属于最简二次根式的是（）A.21xB.yxxC.12D.1123.化简二次根式21aaa的结果是（）A.a1B.a1C.a1D.a14.已知ab，则化简3ab的结果正确的是（）A.aabB.aabC.aabD.aab5.n48是整数，则正整数n的最小值是（）A.3B.4C.5D.66.李明的作业本上有四道题：(1)24416aa，(2)51052aaa，(4)211aaaaa，(4)aaa23，如果你是他的数学老师，请找出他做错的题是（）A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)知识点五、二次根式的加减1.加减法：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．第9页注意：同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式，例如2和32。一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式。要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化成最简二次根式后，再判断。例题：1.下列计算正确的是（）A.13334B.532C.2212D.252232.填空(1)5x+2x=(2)24+6(3)825=(4)1227=3.计算(1)311227(2)2484554(3)23231812(4)xxxx1246932练习：1.(2014.外国语学校期中卷)下列计算正确的是（）A.632B.532C.248D.2242.(2015.平南县月考卷)若1022218xxxx，则x的值为（）A.4B.2C.2D.43.计算(1)122775(2)48231612第10页(3)18213222(4)xyyxyxyyxyx3643632.混合运算：有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．例题：1.下列计算正确的是（）A.416313B.21141214121C.2525D.3123142.下列计算正确的有（）①69494，②69494，③145454522，④145452222A.1个B.2个C.3个D.4个3.正方形的对角线长是23cm，则正方形的周长是，面积是．4.计算(1)327348(2)228321464(3)322145051183(4)3113325448第11页5.若3，m，5三角形的三边，化简22)8()2(mm．6.化简求值：x32•29xx•xx613•4x，其中x=5．练习：1.下列化简或计算正确的是（）A.332B.787114911C.329362D.4621242.已知35a，35b，则代数式22baba的值是（）A.24B.62C.62D.523.已知矩形的周长为(7248)cm，一边长为(123)cm，矩形的另一边长为，面积为．4.计算：(1)27124148(2)18212(3))13)(13(3612(4)23232