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5.3.2命题、定理青曲中学杨立刚学习目标：（1）了解命题的概念以及命题的构成（如果……那么……的形式）．（2）知道什么是真命题和假命题．（3）知道什么是定理和证明。学习重点：对命题结构的认识．下列四个语句有什么共同点？（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；（3）对顶角相等;（4）等式两边加同一个数,结果仍是等式.这些语句都是对某一件事情作出“是”或“不是”的判断.下列语句在表述形式上，哪些是对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？1、对顶角相等；2、画一个角等于已知角；3、两直线平行，同位角相等；4、a、b两条直线平行吗？5、温柔的李明明；6、玫瑰花是动物；7、若a2＝4，求a的值；8、若a2＝b2，则a＝b。否是否否是否是是√对事情作了判断的语句是否正确？√××2、如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。如：画线段AB=CD。判断一件事情的语句叫做命题。注意：1、只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题。如：相等的角是对顶角。1、下列语句不是命题的是（）A、延长线段ABB、自然数是整数C、两个锐角的和是钝角D、同角的补角相等•疑问句、祈使句、感叹句等不是命题。A2）两条直线相交，有且只有一个交点（）4）对顶角相等（）6）取线段AB的中点C；（）1）长度相等的两条线段是相等的线段吗?()7）画两条相等的线段（）2、判断下列语句是不是命题？是用“√”，不是用“×表示。3）不相等的两个角不是对顶角（）5）相等的两个角是对顶角（）×√××√√√命题的形式？命题都由题设和结论两部分组成。命题都可以写成下列形式：如果······，那么······命题的构成？2.结论是由已知事项推出的事项。1.题设是已知事项，“如果”引出的部分是题设，“那么”引出的部分是结论.题设结论如命题：熊猫没有翅膀。改写为：如果这个动物是熊猫，那么它就没有翅膀。注意：添加“如果”、“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套。1.如果同位角相等，那么两直线平行.2.如果两直线平行，那么内错角相等.3.如果a∥b，b∥c，那么a∥c4.如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角指下面的命题的题设和结论:注意：对于一个命题，如果题设与结论不明显时，我们应该先将命题改写”如果……，那么……“的形式。“如果”开始的部分是题设，“那么”开始的部分是结论。如：对顶角相等题设结论如果两个角是对顶角，那么这两个角相等题设结论如果内错角相等，那么两直线平行；内错角相等，两直线平行；题设结论有理数一定是自然数；如果一个数是有理数，那么这个数一定是自然数。题设结论两条直线平行，同位角相等.如果两条直线平行，那么同位角相等.题设结论相等的两个角，一定是对顶角.如果两个角相等，那么这两个角一定是对顶角。题设结论例1、指下面的命题的题设和结论，并改写成“如果……那么……”的形式。1、两直线平行，同旁内角互补。2、邻补角是互补的角。3、小于直角的角是锐角。4、等角的补角相等。5、平行于同一条直线的两条直线平行。练习：指出下列命题的题设和结论,并改写成“如果……那么……”的形式.(1)两直线平行，同位角相等；(2)等角的余角相等(3)相等的角是对顶角(4)三个内角都等于60°的三角形是等边三角形(5)垂直于同一条直线的两条直线平行6、对顶角相等；7、内错角相等；8、两平线被第三直线所截，同位角相等；9、直角三角形的两个锐角互余；10、正数与负数的和为0。有些命题如果题设成立，那么结论一定成立；而有些命题题设成立时，结论不一定成立。如命题：“如果两个角互补，那么它们是邻补角”就是一个错误的命题。如命题：“如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除”就是一个正确的命题。如果题设成立，那么结论一定成立，这样的一些命题叫做真命题。如果题设成立时，不能保证结论一定成立，它就是错误的命题，像这样的命题叫做假命题2.真命题与假命题正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题。确定一个命题真假的方法：利用已有的知识，通过观察、验证、推理、举反例等方法。例2、哪些是真命题，哪些是假命题？1）一个角的补角大于这个角2）相等的两个角是对顶角3）两点可以确定一条直线4）若A=B，则2A=2B5）锐角和钝角互为补角6）两点之间线段最短7）同角的余角相等（假命题）（假命题）（真命题）（真命题）（假命题）（真命题）（真命题）（9）如果两个角互补，那么它们是邻补角.（10）如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除.注：判断一个命题是假命题时要举反例8）同位角相等（假命题）（假命题）（假命题）判断一个命题是假命题的方法：“举反例”例如：证明：“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题。只需举一反例：锐角30°，钝角120°，它们的和就不等于180°，所以：这个命题是假命题下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？1、猪有四只脚；2、内错角相等；3、画一条直线；4、四边形是正方形；5、你的作业做完了吗？6、同位角相等，两直线平行；7、对顶角相等；8、同垂直于一直线的两直线平行；9、过点P画线段MN的垂线；10、x＞2是真命题否是假命题是假命题否是真命题是真命题是假命题否否指出下列命题的题设和结论，并说明其真假性。（1）如果AB⊥CD，垂足是O，那么∠AOC=90°。（2）两直线平行,同位角相等.（3）如果两个角互补，那么它们是邻补角.（4）如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除.解：（1）题设是“AB⊥CD，垂足是O”，结论是“∠AOC=90°”.（2）题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”.(3)题设是“两个角互补”，结论是“它们是邻补角”.(4)题设是“一个数能被2整除”，结论是“它也能被4整除”.1、数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。2、有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。公理和定理都可作为判断其他命题真假的依据。3、公理、定理、证明（它们是不需要证明的基本事实）（它们是需要证明其正确性后才能用）3、在许多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明。下面我们以证明命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条。”你能结合图形用几何语言表述命题的题设和结论吗？命题在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条.已知：b∥c，a⊥b．求证：a⊥c．请同学们思考如何利用已经学过的定义定理来证明这个结论呢？已知：b∥c，a⊥b．求证：a⊥c．∵a⊥b（已知），又∵b∥c（已知），∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）.∴∠2=90º（等量代换）．∴∠1=90º（垂直的定义）．∴a⊥c（垂直的定义）．证明：过两点有且只有一条直线.2)线段公理：两点之间，线段最短.4)平行线判定公理：同位角相等，两直线平行.5)平行线性质公理：两直线平行，同位角相等.1)直线公理：3)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.公理举例：同角或等角的补角相等。2、余角的性质：同角或等角的余角相等。4、垂线的性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；5、平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。1、补角的性质：3、对顶角的性质：对顶角相等。②垂线段最短。定理举例：内错角相等，两直线平行。同旁内角互补，两直线平行。6、平行线的判定定理：7、平行线的性质定理：两直线平行，内错角相等。两直线平行，同旁内角互补。定理举例：1)每个命题都是由题设、结论两部分组成.1.定义：判断一件事情的语句.2)命题常写成“如果······那么······”的形式.2)假命题：错误的命题.1)真命题：正确的命题；2.构成：3.分类：一、命题二、公理：人们长期以来在实践中总结出来的，并作为判断其他命题真假的根据的命题，叫做公理。三、定理：经过推理论证为正确的命题叫定理。也可作为继续推理的依据。四、判断一个命题是真命题，可以从公理或定理出发，用逻辑推理的方法证明（公理和定理都是真命题）；判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立就可以了，这种方法称为举反例。点拨质疑：一，命题必须是”对某件事情作出判断“的语句，重在“作出判断”。二、假命题与命题的区别。不要误以为作出错误判断的语句（即假命题），就不是命题。三、命题的题设和结论不包括“如果”和“那么”。四、区分不出命题的题设和结论时，就把命题写成“如果……那么……”的形式。五、凡是定理都是真命题。