高等代数北大版4-3

一、矩阵乘积的行列式二、非退化矩阵三、矩阵乘积的秩§4.3矩阵乘积的行列式与秩引入行列式乘法规则11121111212122221222121212,nnnnnnnnnnnnaaabbbaaabbbDDaaabbb其中1122ijijijinnjcababab11121212221212,nnnnnnccccccDDccc则1,nikkjkabABAB,1,2,,ijn§4.3矩阵乘积的行列式与秩定理1设为数域上的级矩阵，则,ABPn.ABAB1212||||||||.ttAAAAAA推广为数域上的级方阵，则12,,,tAAAPn一、矩阵乘积的行列式§4.3矩阵乘积的行列式与秩定义0AA若，称为退化的．若，则称为非退化的；0AA注：级方阵非退化；()0RAnAAn()0.RAnA级方阵退化An设为数域上的级方阵，APn二、非退化矩阵§4.3矩阵乘积的行列式与秩推论设为数域上的级矩阵，则,ABPn,ABAB非退化都非退化证：ABAB退化或退化0ABAB非退化0AB00AB且都非退化.,AB§4.3矩阵乘积的行列式与秩三、矩阵乘积的秩定理2设为数域上的矩阵，则,nmmsABP()min(),().RABRARB证：令(),(),().ijnmijmsijnsAaBbABCc设的行向量组为1,,,mBBB1,,.nCCC的行向量组为则向量组合1122iiimmaBaBaB11122111122,,iiimmisisimmsabababababab§4.3矩阵乘积的行列式与秩即有12111,,,,nnnikkikkikkskkkababab1,2,,in1122iiimmaBaBaB12,,,iiisccc,iC故可由线性表示.12,,,nCCC12,,,mBBB所以．()()RCRB()().RCRA同理，()min(),().RABRARB§4.3矩阵乘积的行列式与秩三、矩阵乘积的秩定理2设为数域上的矩阵，则,nmmsABP()min(),().RABRARB推广如果，则12tAAAA12()min{(),(),,()}.tRARARARA§4.3矩阵乘积的行列式与秩,0,AAEA证明：例1．设A为n级方阵，且0.AE证：AEAAA()AEAAEA()AEAAEA又由有,AAE21,A0,A而1,A于是有,AEAE所以0.AE